Задача 11-3 — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2013 11 класс № 3

Принцип Гюйгенса, конус Маха, эффект Доплера, излучение Вавилова-Черенкова... и т.д.

1. Принцип Гюйгенса. Требуемое построение, показано на рисунке. Следует отметить, что во втором случае появляется огибающая, которая и является фронтом ударной волны.

2. Конус Маха.

В момент времени источник находился в точке с координатой , на расстоянии Звук «запоздает» на время, за которое от пройдет это расстояние, Следовательно, дойдет до наблюдателя в момент времени Для построения примерного графика этой функции можно отметить его следующие характерные особенности:

при , что соответствует времени, которое необходимо, чтобы звук прошел расстояние ; при , то есть график имеет асимптоту; при (надо правильно извлекать корень!) – вторая асимптота. И вот здесь кроется самое интересное: при коэффициент наклона второй асимптоты становится отрицательным, следовательно, в этом случае функция (2) имеет точку минимума. Поэтому графики данной зависимости имеют вид, показанный на рисунке. Не сложно найти положение этого минимума: вычисляя производную от функции (2) и полагая ее равной нулю, получим уравнение

Это уравнение имеет единственный корень при :

Поэтому наблюдатель впервые услышит звук в момент времени

Источник в этот момент времени будет находиться в точке с координатой

В более поздние моменты времени наблюдатель будет одновременно слышать звуки, идущие от разных источников, движущихся в противоположных направлениях.

Именно наличие экстремума свидетельствует о возникновении ударной волны. Потому, что в течение малого промежутка времени практически одновременно будут приходить волны, испущенные в течение гораздо более длительного промежутка .

Формально можно поступить следующим образом. Пусть мощность источника равна . В течение бесконечно малого промежутка времени он испустит энергию . Какая-то ее часть (она определяется геометрией расположения источника и наблюдателя и размером ушей последнего) будет принята в течение промежутка времени , поэтому воспринимаемая мощность определяется по формуле

В точке экстремума эта мощность устремляется к бесконечности, что свидетельствует о наличии ударной волны.

Угол полураствора конуса Маха можно найти либо из построения Гюйгенса, либо из формулы (6), в любом случае он определяется соотношением

3. Эффект Доплера.

Формулы для эффекта Доплера можно получить различными способами. В данном случае простейшим из них является способ, основанный на использовании полученной зависимости (2).

Если считать период волны, испускаемой источником малой величиной (), то воспринимаемый период также можно считать малой величиной² (). Их отношение можно найти, как производную от функции (2) Эту производную мы уже вычисляли, поэтому сразу запишем: Для получения окончательного результата необходимо выразить через , то есть решить уравнение (2) относительно .

Если наблюдатель находится на оси, вдоль которой движется источник, то воспринимаемую частоту можно найти из формулы (10), если положить . В этом случае получим

Знак плюс соответствует наблюдателю находящемуся позади источника (источник удаляется), так как в этом случае в формуле (10) . Знак минус – случаю, когда источник приближается к наблюдателю³.

Для наблюдателя, находящегося сбоку от линии движения источника, частота будет монотонно изменяться от до . Для звука, испущенного в момент времени и пришедшего в момент времени , частота останется неизменной.

4. Излучение Вавилова-Черенкова.

4.1

Излучение начнется, если скорость электронов превысит скорость света в воде, то есть при . В этом случае полная энергия электрона будет равна ² Очень интересный вопрос – а что такое частота в данный момент времени? чтобы говорить о частоте, надо зарегистрировать хотя бы одно колебание! Но в физике есть понятие физически малая величина: мала настолько, что можно считать дифференциалом, но велика настолько, что содержит большое число... в данном случае периодов колебаний.

где - энергия покоя электрона. Ее численное значение (в эВ) равно $кэВ$ Минимальная энергия равна $мин кэВ кэВ$

4.2

При ускорении электрон должен пройти ускоряющую разность потенциалов, которая находится из условия (записано в эВ) $мин В$

4.3

Так как за каждым электроном «тянется» световой конус, то при попадании его на линзу, в ее фокальной плоскости образуется кольцо, радиус которого углом полураскрытия конуса (не забыть учесть преломление на задней грани сосуда с водой!), а этот угол определяется скоростью электронов. Скорость электронов найдем из формулы $мин$ В соответствии с полученным ранее результатом, угол полураскрытия светового конуса определяется условием Для дальнейших расчетов удобно перейти от волнового фронта к лучам, которые перпендикулярны фронту. Как следует из рисунка, закон преломления на задней стенке имеет вид: Из этого выражение определяем угол (именно под этим углом к оптической оси лучи будут попадать на линзу): Теперь находим радиус кольца на экране: $см$

Примечания

2. – ? , Оченьинтересныйвопросачтотакоечастотавданныймоментвременичтобыговоритьочастотенадо зарегистрировать хотя бы одно колебание! Но в физике есть понятие физически малая величина: мала настолько, что можно считать дифференциалом, но велика настолько, что содержит большое число… в данном случае периодов колебаний. 3 ! Надоправильноизвлекатькореньквадратный ↩
3. Надо правильно извлекать корень квадратный! ↩