Согласно принятой модели обе компоненты скорости уменьшаются в одно и то же число раз, поэтому образуют геометрическую прогрессию со знаменателем , после ударов они будут равны: Так как проекции скорости на выбранные оси координат остаются равными после каждого столкновения, то тело всегда будет двигаться под углами к оси . Следовательно, между ударами будет смещаться на расстояние , тогда координаты точек столкновения будут равны

В качестве единицы масштаба разумно выбрать расстояние между стенками. Тогда траектория движения будет очень простой, она показана на рисунке.

Так как проекции скорости движения убывают в соответствии с формулой (1) времена между столкновениями будут возрастать по закону: Для определения времени -го столкновения можно рассчитать с помощью формулы для суммы геометрической прогрессии: Тогда средняя скорость до -го столкновения будет равна (учетом того, что между ударами тело проходит расстояние ):

Так как компоненты скоростей после каждого удара остаются равными, то после каждого удара тело будет «стартовать» по углом к горизонту. После ударов компоненты скорости также будут описываться формулой (1):

Теоретический тур. Вариант 2. 9 класс. Решения задач. Бланк для жюри. 6

Время между двумя столкновениями полностью определяется вертикальной компонентой скорости и равно:

Смещение в горизонтальном направлении после -го равно

Тогда координата -го удара равна сумме предыдущих смещений

Из формулы (8) следует, что при координата стремиться к предельному значению, которое и будет максимальным смещением

Между двумя последовательными ударами движение тела является равноускоренным с ускорением свободного падения . Будем решать задачу в системе отсчета, показанной на рисунке. В этой системе проекции ускорения на оси координат равны:

В момент падения тела на наклонную плоскость (назовем его нулевым ударом) проекции скорости тела на оси координат описываются формулами

После удара эти компоненты скорости в рамках принятой модели удара описываются формулами

Теоретический тур. Вариант 2. 9 класс. Решения задач. Бланк для жюри. 7

После столкновения с плоскость закон движения частицы задается функциями:

В момент падения координата обращается в нуль, из этого условия легко найти время движения до очередного столкновения:

Тогда координата в момент первого удара оказывается равной:

Рассмотрим, как изменяются проекции скоростей частицы при последовательных соударениях. Если изменение координат описывается функциями (14), то изменение проекций скорости подчиняются следующим выражениям

Тогда непосредственно перед первым (после нулевого) ударом в момент времени они оказываются равными:

А сразу после этого удара

Обратим внимание, что нормальная составляющая скорости частицы оказалась равной аналогичной величине после первого удара! Чтобы «прыжки» были одинаковыми, необходимо, чтобы и компонента восстановилась . Это произойдет если коэффициент восстановления равен

Теоретический тур. Вариант 2. 9 класс. Решения задач. Бланк для жюри. 8