Суммарная сила упругости равна

При преобразуем к виду

Так как возвращающая сила не пропорциональна смещению, то колебания не будут гармоническими. Отметим, что выражение для силы упругости имеет 3 порядок малости, поэтому и электрические силы следует рассчитывать до 3 порядка малости.

Напряженность электрического поля находим с помощью закона Кулона

Схематический график этой зависимости показан на рисунке.

Так как электрическая сила зависит от производной этой функции, то нужно проводить разложение до 4 порядка малости ():

Напряженность в начале координат

Зависимость электрической силы от координаты описывается формулой (с точностью до 3 порядка малости)

Перепишем эту формулу в необходимом виде

Поэтому

Перепишем формулу (2) в виде

Следовательно,

Уравнение равновесия имеет вид:

Из этого уравнения следует, что координата точки равновесия равна

Отметим, что положения равновесия является неустойчивым.

Положения равновесия (12) существуют при .

Или

Для определения частоты малых колебаний представим координату в виде (где ). Тогда уравнение движения шарика будет иметь вид

В этом уравнении следует провести разложение до первого порядка малости величины :

Тогда уравнение (14) становится уравнением гармонических колебаний:

Частота, которых равна