Шарики в трубе

Условие

Республиканская олимпиада 2018 10 класс № 3

На дне узкого вертикального цилиндрического стеклянного сосуда высотой лежит небольшой проводящий шарик массы , имеющий отрицательный электрический заряд . Радиус шарика значительно меньше высоты сосуда. К верхней части сосуда подносят такой же шарик, несущий положительный заряд , причем . Нижний шарик отрывается от дна и в этот момент верхний шарик отпускают (можно считать, что начальные скорости шариков равны нулю). Через время нижний шарик опять оказывается на дне сосуда. Найдите высоту над дном сосуда , на которой в этот момент времени будет находиться второй шарик. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 10-2 «Закон Ома» для теплопередачи

Все материалы способны проводить тепло, но по-разному! В данной задаче вам предстоит рассчитать теплофизические характеристики некоторых материалов. Закон теплопроводности полностью совпадает с законом Ома для участка цепи. Он был сформулирован французским физиком Жаном Батистом Жозефом Фурье в 1807 году.

Закон утверждает, что количество теплоты, протекающей через однородную пластину толщины и площади в единицу времени (т.е. мощность теплопередачи), определяется по формуле

Коэффициент в этой формуле называется коэффициентом теплопроводности и является характеристикой вещества.

Замените в этой формуле температуру на электрический потенциал, поток теплоты на силу тока, коэффициент теплопроводности на удельную электрическую проводимость и... перед вами закон Ома.

Формула (1) справедлива, если коэффициент теплопроводности является постоянной величиной, если нет – разбивайте пластину на тонкие слои... и для каждого слоя пишите отдельные уравнения. Впрочем, удельное сопротивление также может изменяться, например, если проводник разогревается.

Во всех частях данной задачи мы будем рассматривать пластины одинаковых размеров $м$ , $см$ . Для воздушной пластины будем подразумевать, что воздух находится в коробке указанных размеров, масса воздуха внутри нее остается неизменной. Влиянием самой коробки на протекание рассматриваемых процессов будем пренебрегать. Также будем рассматривать одинаковые начальные условия: пластина имеет постоянную температуру . Одна сторона пластины все время поддерживается при этой температуре, затем вторую сторону пластины приводят в тепловой контакт с очень массивным телом (термостатом), находящимся при температуре . Координату холодной стороны полагаем равной нулю, координата второй - . По прошествии некоторого промежутка времени тепловой поток через пластину становится стационарным, то есть не зависящим от времени. Процесс установления равновесия достаточно сложный,

нас он интересоват не будет, основное внимание уделяется стационарному распределению температур и тепловым потокам в стационарном режиме.

Часть 1. Свойства нити подвеса.

«В Мемуаре, представленном в академию в 1784 году я на основе эксперимента определил закон для силы кручения металлической нити и обнаружил, что эта сила пропорциональна углу закручивания нити...»

Это высказывание можно представить в виде формулы: момент сил упругости $у п р$ , возникающий при закручивании металлической нити рассчитывается по формуле $у п р$ здесь - коэффициент пропорциональности (модуль кручения), зависящий от материала нити и ее размеров – длины и радиуса, - угол закручивания нити в радианах.

«Серебряная нить, которая образует подвес, имеет длину 28 дюймов и эта нить настолько тонка, что фут длины этой нити весит всего грана. Рассчитывая силу, с которой следует подействовать на коромысло, в точке, удаленной на 4,0 дюйма от нити, или от центра подвеса, я нашел, что... для закручивания нити на необходимо приложить силу всего в грана.»

1.1 Определите по приведенным данным диаметр нити подвеса. Плотность серебра $г см$ .

1.2 Рассчитайте количество теплоты, которое пошло на нагревание каждой пластины , .

Теперь соединим обе пластины. Сначала с холодной стороны находится свинцовая пластина (а серебряная с теплой), потом наоборот. Для каждой составной пластины:

1.3 Рассчитайте потоки теплоты в установившемся режиме , .

1.4 Выразите значения , через значения потоков , , найденных в п.1.1.

1.5 Рассчитайте количества теплоты , которые пошли на нагревание пластин до установившегося режима (с одной стороны температура , с другой ).

1.6 Постройте графики зависимости температуры внутри пластин от координаты (на одном бланке.

Часть 2. Фундаментальный закон электричества.

«Я привожу здесь только несколько измерений, которые легко повторить и которые тут же делают зримым закон отталкивания. При электризации двух шариков с помощью головки булавки, когда указатель микрометра установлен на нуль, шарик 4 удалился от шарика 7 на угол ; При закручивании нити подвеса посредством головки микрометра на два шарика сблизились и остановились на расстоянии один от другого. При закручивании нити подвеса на два шарика сблизились до »

2.1 Длина свободного пробега молекул зависит от эффективного диаметра молекулы и концентрации молекул . Установите вид зависимости длины свободного пробега от указанных параметров.

2.2 Коэффициент теплопроводности пропорционален абсолютной температуре в некоторой степени . Определите показатель степени в этой формуле.

Независимо от полученного вами результата далее считайте, что теплопроводность воздуха прямо пропорциональна абсолютной температуре, т.е. .

Итак, одна сторона воздушного слоя имеет температуру , вторая . Поток теплоты стал стационарным, газ в равновесии.

2.3 Рассчитайте поток теплоты через воздушный слой , в предположении, что коэффициент теплопроводности воздуха постоянен (такой как при ).

2.4 Нарисуйте схематический график зависимости температуры воздуха от координаты в установившемся режиме. (Здесь вам нет необходимости получать точную формулу, и даже вид зависимости).

2.5 Рассчитайте поток теплоты через воздушный слой, учитывая зависимость коэффициента теплопроводности от температуры.

2.6 Рассчитайте количество теплоты, которое пошло на нагревание воздуха от начальной температуры до установившегося распределения температур, при условии, что коэффициент теплопроводности зависит от температуры.

Задача 10-3 Опыты Ш. Кулона

Эта задача составлена по данным, приведенным в работе Ш. Кулона «Первый мемуар по электричеству и магнетизму. Конструкция и применение электрических весов, основанных на свойстве металлических нитей иметь силу реакции при кручении, пропорциональную углу кручения», представленной в виде доклада на заседании в Королевской академии наук в 1785 году и опубликованной в 1788 году⁴. Цитаты из этого сочинения выделены курсивом.

В задаче приводятся численные данные в системе единиц, принятой во Франции в конце XVIII века. Вы же должны приводить численные ответы в системе СИ.

Для перевода единиц используйте следующие данные: 1 дюйм (французский) = 2,707 см; 1 линия = 1/12 дюйма; 1 фут = 12 дюймов; 1 гран (единица массы и силы)=64,8 мг

Ускорение свободного падения считайте равным $М с$ . Электрическая постоянная $А с кг м$

Схема установки (крутильных весов) Ш. Кулона широко известна и показана на рисунке. Основными деталями весов являются:

1 – коромысло, на котором закреплены шарик из бузины 4 и противовес 5; 2 – тонкая серебряная нить, к нижнему концу которой прикреплено коромысло с шариком и противовесом, в положении равновесия коромысло располагается горизонтально; расстояние от центра шарика до точки подвеса (плечо коромысла) равно

дюйма; верхний конец нити прикреплен к угловому микрометру 6. Указатель микрометра можно вращать и измерять угол закручивания; второй шарик из бузины 7 закрепляется неподвижно. Вся система помещена в стеклянный цилиндрический сосуд, на боковой поверхности которого расположена угломерная шкала, позволяющая измерять угол поворота коромысла. Шарикам 4 (на подвижном коромысле) и 7 (на неподвижном креплении) можно сообщать электрический заряд с помощью металлического шарика 8 на отдельной ручке. В состоянии равновесия (при отсутствии зарядов на шариках) коромысло располагается так, что шарики касаются друг друга, нить подвеса при этом не закручена, указатель углового микрометра установлен на нуль.

Для перевода в единицы силы массу следует умножить на ускорение свободного падения.

Измерения проводились следующим образом. Шарикам 4 и 7 сообщают электрические заряды и приводят их в соприкосновение (при этом их электрические заряды выравниваются). Коромысло поворачивается (угол поворота обозначен ), при необходимости с помощью головки углового микрометра нить можно дополнительно закрутить (угол закручивания обозначен ). Отметим, что - угол поворота указателя углового микрометра.

Часть 3. Утечка заряда.

«Электричество на двух шариках немного уменьшается в зависимости от времени, которое длится эксперимент. Я проверил, что в тот день, когда был проведен описанный выше опыт, наэлектризованные шарики, находившиеся на расстоянии один от другого при угле кручения , сближались на за 3 минуты»

3.1 Оцените удельное сопротивление воздуха в день проведения эксперимента.

Примечания

4. Перевод работы опубликован в книге Голин Г.М., Филонович С.Р. Классики физической науки (с древнейших времен до начала XX века): Справ. пособие. – М.: Высш. школа., 1989 г 5 Для перевода в единицы силы массу следует умножить на ускорение свободного падения. ↩
4. Перевод работы опубликован в книге Голин Г.М., Филонович С.Р. Классики физической науки (с древнейших времен до начала XX века): Справ. пособие. – М.: Высш. школа., 1989 г ↩