Условие

Учебно-тренировочные сборы 2023 старшая группа № 3

Данное задание разработано на материалах обзорной статьи: Synergy of physical properties of low-dimensional carbon-based systems for nanoscale device design/ N. A. Poklonski, S.A. Vyrko, A. I. Siahlo, O. N. Poklonskaya, S. V. Ratkevic, N. N. Hieu, A. A. Kocherzhenko/ Matter. Res. Express, 6 (2019).

На рисунке, взятом из указанной статьи, показана схема вибратора, управляемого электрическим полем. Сложная плоская молекула (показанная на рисунке слева) содержит атом олова (Sn). Этот атом может колебаться в направлении, перпендикулярном плоскости молекулы. Частота этих колебаний может изменяться под действием электрического поля. Строгий расчет характеристик молекулярных колебаний возможен только с помощью квантовой механики.

Однако наиболее характерные особенности движения этого атома могут быть получены и в рамках классической физики. Для этого рассмотрим следующую упрощенную модель рассмотренного вибратора.

Шарик массы (моделирующий атом олова Sn) соединен с 4 одинаковыми пружинами (моделируют химические связи атома олова с соседними атомами). Жесткость каждой пружины , их длины в недеформированном состоянии равны . Противоположные концы пружин закреплены в вершинах квадрата. Когда шарик находится в центре квадрата, пружины не деформированы. Шарик может двигаться вдоль прямой, перпендикулярной плоскости квадрата. Направим ось координат вдоль этой прямой, начало отсчета совместим с центром квадрата.

На расстоянии от центра квадрата закреплен точечный заряд , который моделирует заряд на острие зонда микроскопа (microscope probe).

Симметрично плоскости квадрата закреплен электрический заряд , который моделирует заряд-изображение в проводящей плоскости (grapheme substrate). В атомной физике силой тяжести следует пренебрегать. В данном задании анализируется движение шарика вдоль указанной оси . Радиус шарика значительно меньше геометрических величин .

При выполнении данного задания рекомендуем использовать приближенную формулу Эта формула справедлива для малых значений безразмерной величины и любого показателя степени . Каждый раз при использовании этой формулы подумайте, сколько слагаемых следует оставлять для дальнейших преобразований.

Часть 1. Силы упругости.

Пусть шарик смещается на расстояние от центра квадрата.

1.1 Найдите зависимость суммарной силы упругости , действующей на шарик со стороны 4 пружин, от смещения шарика . Напоминаем, что, когда шарик находится в центре квадрата, пружины не деформированы!

1.2 Покажите, что при формулу для суммарной силы упругости можно приближенно представить в виде Найдите значения постоянных величин в этой формуле.

1.3 Укажите, будут ли колебания шарика при отсутствии электрического поля гармоническими?

Часть 2. Электрическое поле и электрические силы. Электрическое поле создается двумя точечными зарядами , расположенных на оси симметрично относительно начала отсчета, в точках с координатами .

2.1 Найдите зависимость модуля напряженности электрического поля на оси от координаты . Постройте схематический график этой зависимости. В дальнейшем вместо координаты шарика используйте безразмерную величину . При малых значениях , полученную зависимость с помощью приближенной формулы (1) можно представить в виде где - напряженность поля в начале координат, - численные коэффициенты. В этой формуле следует оставить столько слагаемых, сколько потребуется для дальнейших расчетов.

Старшая лига. Теоретический тур. Условия задач. 8

2.2 Выразите значение через значения . Рассчитайте значения коэффициентов

В дальнейшем считайте величину известной. В дальнейших расчетах используйте только приближенную формулу (3) с найденными численными коэффициентами.

Под действием электрического поля напряженности шарик поляризуется и приобретает дипольный момент, модуль которого равен где - поляризуемость шарика (считайте ее известной), - электрическая постоянная.

Со стороны электрического поля на электрический диполь действует сила

2.3 Найдите зависимость силы , действующей на шарик со стороны электрического поля, от положения шарика .

2.4 Представьте полученную зависимость в приближенной виде где - значение функции при . Выразите значение через величины . Найдите численные значения коэффициентов . Оставьте в этой формуле столько слагаемых, сколько необходимо для дальнейших расчетов.

Часть 3. Колебания шарика.

3.1 Представьте зависимость силы упругости от положения шарика (2) в виде где - значение функции при . Выразите значение через заданные параметры модельной системы.

При включении электрического поля положение равновесия шарика смещается. Обозначим координату положения равновесия

3.2 Выразите значения координаты положения равновесия через параметры системы и .

3.3 Найдите максимальное значение напряженности электрического поля в начале координат , при котором шарик может совершать колебания.

3.4 Рассчитайте частоту малых колебаний шарика вблизи положения равновесия , если напряженность электрического поле в начале координат . Выразите значения частоты через параметры .

Т3 Задача 10-3

Задача 3. В чем причина появления поверхностной энергии? В некоторых учебниках можно найти следующие рассуждения «молекулы на поверхности жидкости …

 Городская3-й этап 2012 10 кл. Статика: условия равновесияУстойчивость, ветви равновесия и срывСилы упругости. Закон Гука У Р Б П ≈5/5 Т2 Смещение и затухание

Задача 10-2 «Смещение и затухание»

Небольшой шарик массой , прикрепленный с помощью пружины жесткостью к упору, может скользить без трения …

 РеспубликанскаяРесп. 2005 10 кл. Статика: условия равновесияСилы упругости. Закон ГукаПотенциал и его связь с напряжённостью У Р Б П ≈5/5 Т3 Морской хронометр

Первые попытки создать морской хронометр, работающий независимо от качки и прочих факторов, были предприняты в конце XVII века. Известны разработки …

 Городская3-й этап 2023 11 кл. Законы динамики НьютонаВращательное движение. Момент силыСтатика: условия равновесия У Р Б П ≈5/5 Т3 Шарики в трубе

На дне узкого вертикального цилиндрического стеклянного сосуда высотой лежит небольшой проводящий шарик массы , имеющий отрицательный …

 РеспубликанскаяРесп. 2018 10 кл. Средняя и мгновенная скоростьВращательное движение. Момент силыСтатика: условия равновесия У Р Б П ≈5/5 Т2 Динамик

В данной задаче Вам предстоит рассмотреть работу простейшего динамического громкоговорителя (проще говоря, динамика). Динамик представляет собой …

 Городская3-й этап 2007 11 кл. Законы динамики НьютонаСилы упругости. Закон ГукаВязкое трение и сопротивление среды У Р Б П ≈5/5 Т2 Бенгальский огонь

Задание 2. Бенгальский огонь Однородное тонкое кольцо радиуса м из горючего материала аккуратно разрезают и поджигают с одного конца (рис. …

 Городская3-й этап 2014 11 кл. Равномерное движениеДвижение по окружностиВращательное движение. Момент силы У Р Б П ≈5/5
Нужна подсказка? →

Оригинал в архиве олимпиады