Часть 1. Скорость звука в упругом стержне

Пусть упругий стержень налетает по нормали со скоростью 𝜐 на очень жесткую (недеформируемую) неподвижную стенку (Рис. 3). Плотность материала стержня , его модуль Юнга (упругости) равен .

Сразу после механического контакта со стенкой по стержню (от стенки) начинает бежать продольная волна сжатия (возмущения) со скоростью звука (см. Рис. 3).

При этом к некоторому моменту времени деформированной оказывается лишь часть стержня, до которой успела дойти волна упругого возмущения (см. Рис. 3). Будем считать, что частицы стержня в этой области ( уже остановились под действием сил упругости.

Заметим, что в этот же момент времени другие частицы стержня (в его «дальней» части ) «как ни в чем не бывало» продолжают движение вперед (к стенке) с прежней скоростью 𝜐 (см. Рис. 3).

Часть 2. Звук и Лаплас

Скорость звука в газах впервые была рассчитана И. Ньютоном в его знаменитой работе «Математические начала натуральной философии» (1687 г.). Однако результат мастера оказался сильно заниженным, и более ста лет причина данной «нестыковки» оставалась неясной…

Лишь в 1816 г. известный французский математик Пьер Симон де Лаплас исправил «неточность» Ньютона, который считал, звук распространяется «изотермически». Лаплас построил адиабатную модель распространения звука и получил блестящее совпадение теории и практики!

Для построения модели Лапласа необходимо выяснить: какая величина играет роль модуля Юнга для газов?

Рассмотрим идеальный газ под давлением в неподвижной гладкой трубе длиной и площадью поперечного сечения , запертый подвижным герметичным поршнем (Рис. 5).

1. Приложим к подвижному поршню силу , сжимающую идеальный газ (Рис. 6). Пусть под действием этой силы поршень сместился влево на малое , а давление газа увеличилось до значения , причем . Используя (1) и (2), выразите модуль Юнга газа внутри трубы через величины , где есть изменение объема газа под действием силы, а — начальный объем газа.
2. Примем во внимание тот факт, что при рапространении волн (в том числе и звуковых) отсутсвует перенос вещества. Иными словами масса выделенного объема газа в процессе его деформации (сжатия или растяжения) остается постоянной () при малых изменениях объема и плотности газа. Используя ранее полученные результаты, докажите универсальную формулу для скорости звука в газах (и жидкостях) в виде , где — изменение давления газа при его уплотнении (разрежении), а — соответствующее этому изменение плотности газа.
3. Согласно предположению Лапласа процесс распространения звука в газе следует считать адиабатическим (). Получите формулу Лапласа для скорости звука в газах.
4. По формуле Лапласа вычислите скорость звука в воздухе при температуре .