Звук и Гук

Условие

Городская олимпиада (3-й этап) 2026 10 класс № 3

Из простых опытов (Рис. 1) следует, что механические взаимодействия (и звук в том числе) передаются в упругой среде (пространстве) от точки к точке не мгновенно, а переносятся упругими волнами с конечной скоростью за некоторый конечный промежуток времени.

Интуитивно понятно, что скорость распространения упругих волн (звука) в данной среде определяется такими её механическими характеристиками, как упругость и инертность.

В рамках данного задания вам предстоит более подробно разобрать процесс распространения упругих волн (звука) на достаточно простых моделях.

Рассмотрим однородный упругий стержень (Рис. 2) начальной длиной и площадью поперечного сечения , к свободному концу которого приложили силу .

Под действием силы стержень удлинится (деформируется) на некоторую величину , называемую абсолютной деформацией образца (см. Рис. 2).

При деформации стержня в нем возникает обратная сила упругости $у$ , которая стремится скомпенсировать действие внешней силы .

Согласно закону Гука, проекция силы упругости $у$ , возникшая в стержне, при малых деформациях () есть

$у$ , (1)

где — коэффициент упругости стержня.

Коэффициент упругости стержня зависит как от его «геометрии», так и от упругих свойств его материала

, (2)

где — модуль Юнга (упругости) материала, из которого изготовлен стержень.

Модуль Юнга материала является табличным данным и измеряется в $Па Н м$ .

Действия силы тяжести и сил трения и сопротивления в данной задаче не учитывать.

Справочные данные и параметры рассматриваемой системы: молярная газовая постоянная $Дж моль$ , молярная масса воздуха $г моль$ , скорость звука в воздухе при температуре равна $м с$ , — греческая буква «кси».

Часть 1. Скорость звука в упругом стержне

Пусть упругий стержень налетает по нормали со скоростью 𝜐 на очень жесткую (недеформируемую) неподвижную стенку (Рис. 3). Плотность материала стержня , его модуль Юнга (упругости) равен .

Сразу после механического контакта со стенкой по стержню (от стенки) начинает бежать продольная волна сжатия (возмущения) со скоростью звука (см. Рис. 3).

При этом к некоторому моменту времени деформированной оказывается лишь часть стержня, до которой успела дойти волна упругого возмущения (см. Рис. 3). Будем считать, что частицы стержня в этой области ( уже остановились под действием сил упругости.

Заметим, что в этот же момент времени другие частицы стержня (в его «дальней» части ) «как ни в чем не бывало» продолжают движение вперед (к стенке) с прежней скоростью 𝜐 (см. Рис. 3).

1.1 Методом размерностей получите формулу (с точностью до безразмерного коэффициента ) для скорости звука в упругом стержне в зависимости его модуля упругости (Юнга) и плотности .

1.2 Выведите скорость звука в упругом стержне, рассмотрев изменение импульса стержня в процессе столкновения с недеформируемой стенкой. Установите значение безразмерного коэффициента .

1.3 Найдите силу давления $д$ стержня на стену, действующую в процессе удара (во время контакта стержня со стеной).

Часть 2. Звук и Ньютон

Скорость звука в газах впервые была рассчитана И. Ньютоном в его знаменитой работе «Математические начала натуральной философии» (1687 г.). Для этого ему необходимо было установить: какая величина играет роль модуля Юнга для газов?

Рассмотрим идеальный газ под давлением в неподвижной гладкой трубе длиной и площадью поперечного сечения , запертый подвижным герметичным поршнем (Рис. 5, а)).

Приложим к подвижному поршню силу , сжимающую идеальный газ (Рис. 5,б)). Пусть под действием этой силы поршень сместился влево на , а давление газа увеличилось до значения , причем . Используя (1) и (2), выразите модуль Юнга газа внутри трубы через величины , где есть изменение объема газа под действием силы, а — начальный объем газа.
Примем во внимание, что при рапространении волн (в том числе и звуковых) отсутсвует перенос вещества, т.е. маса выделенного объема газа в процессе сжатия (растяжения) остается постоянной () при малых изменениях объема и плотности газа. Используя ранее полученные результаты, докажите универсальную формулу для скорости звука в газах (и жидкостях) в виде , где — изменение давления газа при его сжатии (разрежении), а — соответствующее этому изменение плотности газа.
Согласно предположению Ньютона процесс распространения звука в газе можно считать изотермическим (). Получите формулу Ньютона для скорости звука в газах.
По формуле Ньютона вычислите скорость звука в воздухе при температуре . Сравните полученное значение с приведёнными данными. В чем, по Вашему мнению, «ошибся» Ньютон?

Нужна подсказка? →

Условие

Похожие задачи

Оригинал в архиве олимпиады