Так как все точки трубки находятся на одном расстоянии от оси вращения, то модули их скоростей одинаковы и равны Поэтому кинетическая энергия вращающейся трубки равна

Представим движение трубки как сумму поступательного прямолинейного движения ее центра и его вращения вокруг центра. В этом случае разные точки трубки движутся с разными скоростями относительно поверхности. Мысленно разобьем трубку на равные малые участки (полоски вдоль длины трубки), видимые из центра обруча под малым углом . Рассмотрим один из таких участков, положение которого задается углом от вертикали. Полная скорость этого участка складывается из скорости движения центра и скорости вращательного движения относительно центра колеса (). Используя теорему косинусов, легко показать, что квадрат вектора полной скорости выделенного участка равен Чтобы найти кинетическую энергию всей трубки необходимо просуммировать энергии всех ее участков: Так как суммирование проводится по всем полоскам трубки (по полной окружности), то последняя сумма обращается в нуль. Следовательно, кинетическая энергия трубки равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений: Чтобы убедиться в справедливости сделанного вывода можно так же рассмотреть два участка, симметричных относительно оси трубки.

Если трубка катится без проскальзывания, то скорость его центра и угловая скорость вращения связаны соотношением . В этом случае оба слагаемых в формуле (5) равны, поэтому полная энергия трубки равна

Теоретический тур. Вариант 2. 10 класс. Решения задач. Бланк для жюри. 7

Увеличение кинетической энергии системы равно уменьшению потенциальной груза, поэтому В этой формуле - кинетическая энергия трубки; - кинетическая энергия груза. Выразим кинетическую энергию груза через кинетическую энергию трубки: И подставим в уравнение (7) Из этого выражения находим изменение кинетической энергии трубки

Подставим явное выражение для кинетической энергии трубки и воспользуемся подсказкой из условия: Подставим в формулу (9) И разделим его на - промежуток времени, за который груз опустился на величину . Также учтем, что скорость груза можно выразить через угловую скорость вращения трубки: . В итоге получим Отсюда находим угловое ускорение трубки: А ускорение груза равно:

Что бы выразить угловое ускорение через силу натяжения нити, ее сначала надо найти. Для этого воспользуемся уравнением второго закона Ньютона для груза: Теперь перепишем уравнение (12):

Теоретический тур. Вариант 2. 10 класс. Решения задач. Бланк для жюри. 8

В итоге получаем уравнение динамики вращательного движения:

(16)

Запишем уравнение динамики вращательного движения в рассматриваемом случае:

(17)

Из этого уравнения следует, что угловое ускорение трубки постоянно и равно

(18)

Поэтому вращение трубки будет равноускоренным (с отрицательным ускорением), а его угловая скорость будет изменяться по линейному закону:

(19)

До остановки трубка повернется на угол

(20)

Следовательно, полное число оборотов до остановки равно

(21)

Из уравнения второго закона Ньютона для движения центра масс

(21)

Находим линейное ускорение оси трубки

(22)

Теперь запишем уравнение динамики вращения относительно оси трубки (единственной силой, момент которой отличен от нуля, является сила трения):

(23)

Из этого уравнения определяем угловое ускорение трубки

(24)

Теоретический тур. Вариант 2. 10 класс. Решения задач. Бланк для жюри. 9

Если трубка катится без проскальзывания, то линейное и угловые ускорения связаны геометрическим соотношением Подставим в это соотношения формулы для ускорений (22) и (24) Отсюда определяем силу трения

Так как движение происходит без проскальзывания, то данная сила является силой трения покоя. Как следует из закона Кулона – Амонтона сила трения покоя не может быть больше силы трения скольжения, т.е. С учетом формулы (27) это неравенство дает условие качения трубки по наклонной плоскости без проскальзывания:

Теоретический тур. Вариант 2. 10 класс. Решения задач. Бланк для жюри. 10