Вспомни, что означает катиться без проскальзывания: какие скорости связаны между собой? Сделай рисунок в момент касания.

Запиши условие без проскальзывания в виде связи скоростей: , и используй результат из предыдущего пункта, что энергия — сумма поступательной и вращательной составляющих.

1. Подставь связь в выражение из пункта 1.2.
2. Упрость слагаемые, которые становятся равными при этом соотношении.
3. Покажи, что оба слагаемых дают одинаковый вклад и вырази через .

Подумай, куда уходит потенциальная энергия груза при его опускании на малую высоту. Какие кинетические энергии при этом появляются?

Применяй закон сохранения энергии: изменение потенциальной энергии груза равно сумме изменений кинетических энергий трубки и груза, то есть .

1. Определи, какие величины являются (трубка) и (груз) и запиши их как функции и .
2. Свяжи скорость груза с угловой скоростью трубки через .
3. Воспользуйся отношением масс, чтобы выразить через и подставь в уравнение сохранения энергии.
4. Вырази изменение кинетической энергии трубки из полученного уравнения.

Воспользуйся подсказкой задачи про малые изменения квадратов. Подумай, как связать изменение энергии с изменением угловой скорости.

Применяй выражение для изменения энергии вращения: , и переведи это в скорость изменения, разделив на ; затем свяжи скорость падения груза с .

1. Подставь выражение для в формулу из пункта 1.4.
2. Раздели равенство на и замени на ; заменяй на .
3. Упрость и получи уравнение для в терминах масс, и .
4. Вырази ускорение груза и угловое ускорение .

Подумай, как сила натяжения нити связана с движением груза и с моментом, действующим на трубку. Что известно о сумме сил на груз?

Запиши уравнение второго закона для груза и уравнение моментов для трубки (момент силы натяжения равен ).

1. Вырази из уравнения для груза через (или через найденное ранее ).
2. Подставь в уравнение моментов .
3. Упрость равенство и получи уравнение динамики вращательного движения в виде (где ).
4. Вырази через момент .

Представь, что пластинка даёт постоянный момент, тормозящий трубку. Как изменится угловая скорость при постоянном угловом ускорении?

Запиши уравнение динамики вращения с моментом трения: , откуда константа и равна ; используй связь .

1. Заметь, что при постоянном движение равноускоренное по углу и по угловой скорости.
2. Интегрируй с начальным условием .
3. Подставь найденное значение в полученное интеграловое выражение.
4. Вырази зависимость .

Сколько поворотов совершит трубка до остановки — это связано с угловым перемещением при равноускоренном вращении с начальной скоростью и конечной нулевой скоростью.

Используй кинематическое соотношение для равноускоренного вращения: и затем число оборотов ; при остановке положи .

1. Поставь в формулу для конечную угловую скорость и вырази угловой перемещённый угол до остановки.
2. Раздели полученный угол на , чтобы получить число оборотов.
3. Подставь выражение для через из пункта 1.7 при необходимости.
4. Вырази итоговое число оборотов через и .

Нарисуй силы, действующие на трубку на наклонной плоскости: вес, нормальная сила и сила трения, и отдельно проставь момент силы трения относительно оси трубки.

Применяй уравнение второго закона к центру масс: , и уравнение моментов для вращения вокруг оси трубки: .

1. Запиши систему двух уравнений: одно для поступательного движения центра, второе — для вращения вокруг оси.
2. Реши систему формально относительно неизвестных и (вырази одно через другое при заданном ).
3. Упрость и получи выражения для и в терминах .
4. Вырази и из полученной системы.

Нарисуй свободное тело трубки и отметь все внешние силы и направление их линий действия. Подумай, как отсутствие проскальзывания сказывается на движении точки контакта с плоскостью.

Запиши уравнение второго закона Ньютона для поступательного движения вдоль плоскости (проекция суммарной силы вдоль плоскости равна ) и уравнение вращательного движения вокруг центра ( равен сумме моментов сил). Для тонкостенной трубки можно взять момент инерции .

1. 1. Запиши проекцию сил вдоль плоскости: разложи силу тяжести и учти силу трения ; получишь уравнение вида (результирующая вдоль плоскости) = .
2. 2. Запиши момент сил относительно центра: крутящий момент от силы трения равен (с учётом знаков).
3. 3. Воспользуйся условием без проскальзывания связано с ускорением центра (связь вида ), подставь и вырази из полученной системы уравнений.

Подумай, при каких углах компонент веса вдоль плоскости требует такой силы трения, которую поверхность может обеспечить (с учётом коэффициента трения).

Используй неравенство для силы трения: , и подставь значение из пункта 2.2, чтобы получить условие на угол .

1. Возьми найденное выражение для требуемой силы трения при качении без проскальзывания и подставь его в неравенство .
2. Приведи неравенство к виду, содержащему только и параметры (и при необходимости и ), убрав общие множители.
3. Реши неравенство относительно и получи допустимый диапазон углов.
4. Вырази границы угла наклона , при которых качение происходит без проскальзывания.