На рисунке показаны силы, действующие на точку крепления груза. Сила натяжения жгута обозначена . Условие равновесия в проекции на вертикальную ось выражается уравнением

Силу упругости жгута также можно выразить из закона Гука

Из этих выражений получаем уравнение для определения угла :

Это уравнение может быть сведено к алгебраическому уравнению степени, большей, чем два. Поэтому для его решения проще воспользоваться приближением малых углов. В этом приближении (с учетом формул, приведенных в условии задачи) левую часть уравнения преобразуем к виду:

Тогда из уравнения (3) следует, что угол отклонения жгута от горизонтали задается формулой

А провисание жгута оказывается равным

Жгут разорвется, если сила его натяжения станет (формула (1)) равной максимальной силе . В формулах (1)-(2) воспользуемся приближением малых углов и решим полученную систему уравнений относительно массы груза, а затем вместо произвольной силы натяжения подставим ее предельное значение:

Откуда следует окончательный результат:

X класс. Теоретический тур. Вариант 1.

Выделим мысленно на кольце небольшой участок , видимый из центра кольца под малым углом . Он движется по окружности с центростремительным ускорением Это ускорение ему сообщают силы упругости кольца , приложенные к концам выделенного участка. Запишем уравнение второго закона Ньютона для выделенного участка кольца в проекции на радиальное направление (с учетом малости угла ) Здесь - масса выделенного участка. Заметим, что это выражение для массы не зависит от того, растянуто кольцо, или нет. Подставляя это выражение для массы участка, получим выражение для силы натяжения кольца Это выражение не является окончательным ответом, так как в нем остается неизвестным радиус кольца, который увеличивается по мере раскручивания. Поэтому запишем формулу для силы натяжения, используя закон Гука: Решая совместно уравнения (9)-(10) относительно силы натяжения , получим следующую формулу: Эта формула справедлива только при , или при При больших угловых скоростях кольцо начнет расширяться вплоть до разрыва, так как силы упругости не в состоянии обеспечить нужное центростремительное ускорение всем частям кольца.

Итак, первое условие разрыва кольца – нарушение неравенства (12). Считая, что неравенство (12) выполняется, а сила упругости, определяемая формулой (11) достигла максимального значения , выразим из (12) угловую скорость, при которой достигается эта сила натяжения:

X класс. Теоретический тур. Вариант 1.

Заметим, что угловая скорость, определяемая по формуле (13) всегда меньше, скорости, задаваемой формулой (12). Поэтому окончательным ответом на поставленный вопрос является формула (13).

Переход к нерастяжимому жгуту может быть формально проведен с помощью формулы (13), если считать, что . В этом пределе максимальная угловая скорость угловая скорость описывается формулой

Впрочем, этот же результат непосредственно следует из уравнения (9), если положить, что длина окружности кольца равна длине жгута.