Машина по изготовлению льда

Условие

Городская олимпиада (3-й этап) 2014 10 класс № 3

Юный экспериментатор Федя, изучив основы термодинамики, понял, что в силах своими руками собрать тепловую машину, а точнее, холодильную машину. Своей целью юный физик поставил, используя собственную физическую силу, получить из воды лёд. В качестве основы своей установки он взял теплоизолированную цилиндрическую ёмкость с поршнем (рис. 1). Передвигая поршень, можно изменять объём сосуда от л до л. Площадь поршня см. При необходимости с сосуда можно снять изоляцию и открыть теплообмен с окружающим воздухом.

Вода массой кг в стакане, теплоемкостью которого можно пренебречь, помещена в сосуд и отделена от всего объёма теплоизолирующей перегородкой, которую можно открывать при необходимости. Объёмом газа с водой, отделенного перегородкой, можно пренебречь. Рабочим телом Василий выбрал некоторый двухатомный идеальный газ. Перед началом работы машины объём сосуда минимален, газ находится при комнатной температуре $комн$ и атмосферном давлении кПа.

Холодильный циклический процесс, придуманный Федей, состоит из четырёх этапов (рис. 2). На первом этапе сосуд теплоизолирован, вода внутри изолирована от рабочего газа, и Федя, прикладывая свои усилия к поршню, увеличивает объём газа с до . На следующем этапе, при постоянном объёме , открывают перегородку внутри сосуда и позволяют происходить теплообмену воды (льда) с газом до установления теплового равновесия. На третьем этапе Федя вновь закрывает перегородку и, своими усилиями перемещая поршень, уменьшает объём сосуда до исходного . Наконец, на четвёртом этапе, при постоянном объёме , с сосуда снимают изоляцию и позволяют происходить теплообмену с окружающей средой до наступления теплового равновесия.

. Адиабатический процесс, то есть процесс в отсутствие теплообмена, для идеального газа протекает таким образом, что произведение остаётся постоянным (). Безразмерная величина называется показателем адиабаты и зависит от свойств газа.

1. Подготовка

В этой части вам предлагается найти некоторые величины, которые могут пригодиться для дальнейшего решения.

1

1.1. Найдите химическое количество используемого газа.

1.2. До какого минимального объёма нужно «растягивать» газ на первом этапе, чтобы получение льда из воды описанным способом было возможным?

2. Кристаллизация

Пусть изначально вода в стакане имела температуру .

2

2.1. Постройте качественную (то есть без точных чисел) диаграмму происходящего процесса в - координатах.

2.2. Найдите массу льда , образующегося за один цикл.

2.3. Сколько циклов необходимо провести, чтобы заморозить всю воду в стакане?

2.4. Какую работу совершает Федя за один цикл?

2.5. Предложите разумное определение коэффициента полезного действия холодильной машины. Рассчитайте КПД данного процесса в соответствии с предложенным определением.

2.6. Какую максимальную силу должен приложить Федя к поршню в течение процесса? Какой средний модуль силы $ср$ прикладывает Федя за один цикл? Считайте, что ускорение поршня пренебрежимо мало.

3. Охлаждение и кристаллизация

Теперь рассмотрим более практичный случай, когда вода изначально находится при комнатной температуре $комн$ .

3

3.1. Качественно изобразите несколько последовательных циклов данного процесса на - диаграмме.

3.2. Пусть в начале очередного цикла вода находится при некоторой температуре $л$ . За этот цикл вода охладится до некоторой температуры . Определите зависимость .

3.3. Какое количество циклов необходимо провести, чтобы охладить всю воду до температуры замерзания? Сколько всего циклов с начала процесса должно быть проведено для обращения в лёд всей воды?

3.4. Согласно предложенному определению (п. 2.5 задачи) определите КПД процесса охлаждения воды.

3.5. Какую полную работу необходимо совершить Феде, чтобы всю изначальную воду превратить в лёд?

Характеристики воды: молярная масса $кг моль$ ; плотность $кг м$ ; удельная теплоемкость $Дж кг К$ *; удельная теплота испарения $Дж кг$ ; удельная теплота кристаллизации* $Дж кг$ ; температура плавления льда ; поверхностное натяжение $Н м$ ; давление насыщенных паров воды при $Па$ , при - $Па$ . Показатель адиабаты для двухатомного газа: .