Площадь кругового витка радиуса равна и при протекании по нему тока модуль его магнитного момента равен Магнитная индукция в центре кругового витка определяется выражением откуда следует, что

Если лежит в плоскости витка, то, анализируя пары сил Ампера, действующих на противоположные относительно вектора индукции магнитного поля элементы витка, можно показать, что модуль суммарного момента сил составляет В общем случае магнитный момент образует с полем угол . Разложим на составляющие: одну в плоскости витка, а другую перпендикулярную ей. Очевидно, что перпендикулярная составляющая не создает момента сил, вызывая растяжение или сжатие витка, а так как проекция вектора на плоскость витка составляет то модуль результирующего момента сил Ампера равен

Элементарная работа при малом повороте витка на угол равна При повороте витка от состояния, когда , до положения , угол изменяется от до , а полная работа определяется интегралом

Электронный парамагнитный резонанс

Пусть электрон вращается по круговой орбите радиуса с периодом , тогда его движение можно представить как круговой ток силой и магнитным моментом Момент импульса электрона при движении по круговой траектории со скоростью равен откуда, принимая во внимание выражение для периода обращения

получаем

В векторном соотношении между магнитным и механическим моментами необходимо учитывать знак в силу отрицательности заряда электрона.

Согласно п. 3.3 для переворота спина необходимо совершить работу (9), что вместе с формулой в условии для магнитного момента дает

которая совершается за счет энергии фотона

то есть выполняется закон сохранения энергии

Таким образом, используя , получаем

что равно так называемой Ларморовской циклической частоте вращения электрона в магнитном поле.

В отсутствие сердечника магнитное поле в соленоиде пропорционально силе тока, то есть

а при наличии сердечника магнитное поле также пропорционально магнитной проницаемости вещества

Резонанс наступает при одинаковой величине магнитной индукции, поэтому

Термодинамическое равновесие

В состоянии термодинамического равновесия распределение электронов в атоме по энергетическим уровням подчиняется распределению Больцмана, поэтому

а с другой стороны полное число атомов известно и равно

Таким образом, из (22) и (23) получаем при условии

В состоянии термодинамического равновесия скорости переходов вверх и вниз должны быть одинаковы, так как количество атомов на энергетических уровнях изменяться не должно, в частности для нижнего уровня имеем

откуда для плотности энергии электромагнитного излучения получаем

Учитывая соотношение (22) и сравнивая с формулой Планка, заключаем, что

Наличие внешнего источника микроволнового поля

С учетом равенства коэффициентов Эйнштейна и пренебрежения спонтанными переходами, уравнение (25) переписывается в виде

которое с учетом (23) дает

Используя начальное условие , получаем решение уравнения (29) в виде

Интересно отметить, что под действием внешнего источника переменного поля с течением времени разность в количестве атомов на двух уровнях падает до нуля.

Из формулы (30) следует, что Так как при переходе каждого атома с нижнего уровня на верхний поглощается один квант энергии переменного поля , а при каждом обратном переходе такая же энергия выделяется, то выражение, описывающее поглощение энергии переменного поля в сердечнике имеет вид а это означает, что в начальный момент времени мощность источника равна

Рассмотрим случай отсутствия внешнего поля, тогда приведенное в условии уравнение для уровня 1 переписывается в виде Поскольку уравнение (34) должно включать в себя условие термодинамического равновесия, то при обращении слева производной в ноль равновесная концентрация должна быть равна , откуда следует, что Подставляя (35) в (34) и добавляя член из (29), получаем уравнение для с учетом наличия переменного поля Так как требуется определить мощность источника в стационарном режиме, то и разность в числе атомов на нижнем и верхнем уровне должна быть постоянной, то есть , откуда следует Мощность источника по-прежнему определяется уравнением (42) и с учетом того, что , окончательно получаем Обратите внимание, что в отличие от 3.10 мощность источника не зависит от плотности энергии электромагнитного поля, это так называемый режим насыщения.