Если шарик находится в центре сосуда, то все лучи выходящие от него будут пересекать стенки сферического аквариума по нормали, следовательно, без изменения направления распространения. Поэтому при наблюдении с любой стороны при любом показателе преломления изображение шарика также будет находиться в центре шара.

Ход лучей показан на рисунке 1. Видно, что изображение А предмета В находится на глубине , меньшей, чем действительная глубина .

Применим теорему синусов к :

Поскольку углы , и малые, то

Совершенно аналогично рассматривая ,

получим: . Приравняем правые части

выражений, полученных для :

Используя закон преломления света, получим:

Введем безразмерный параметр . В результате: или

Ход лучей в этом случае показан на рисунке 2. Видно, что изображение предмета находится на глубине, большей, чем действительная глубина. Ход решения в этом случае аналогичен. Применим теорему синусов к BOC : Поскольку углы , и малые, то , Применяя теорему синусов к AOC, получим:

На рисунке 2 видно, что в AOC . В результате: . Подставляя выражение для и используя закон преломления , получим: или что совпадает с формулой полученной для случая, когда тело было выше центра шара.

Графики полученных зависимостей показаны на рисунке 3. При эта график этой зависимости терпит разрыв и устремляется к . Физический смысл этого явления можно понять: шарик переходит через фокус сферической поверхности.

Для вычисления видимой скорости движения шарика следует вычислить производную от видимой координаты . Т.к. , то В безразмерных координатах эта зависимость имеет вид Графики этих функций показаны на рис. 4

График этих зависимостей показан на рисунке 4. Эта функция также терпит разрыв в указанной точке. Но скорость движения изображения шарика все время остается положительной.

В общем случае положение изображения зависит от точки наблюдения. Поэтому в данной части задачи нельзя пользоваться результатами, полученными в первой части задачи. Для построения изображения надо построить, по крайней мере, два луча и найти их точку пересечения. Направим ось вдоль линии наблюдения. В этой системе шарик движется под углом к осям координат. Рассмотрим положение шарика в момент времени непосредственно предшествующий его прохождению через центр, когда его координаты равны , , причем величина является малой. В качестве первого луча возьмем луч, попадающий на стенку в точке . Построение этого луча понятно из

рисуна 5. Полагая все углы малыми находим угол, под которым выходит преломленный луч.

Уравнения этого луча имеет вид

Второй луч направим параллельно оси . Для этого луча также не сложно найти уравнение:

Из закона преломления и геометрических построений следует, что угол наклона преломленного луча равен

где . Тогда уравнение этого луча имеет вид

Изображением шарика является точка пересечения этих лучей. Координаты этой точки являются результатом совместного решения уравнений (2) и (4). Аккуратное решение этой системы уравнений приводит к следующему результату.

Далее необходимо упростить данные выражения, полагая . В формуле для координаты можно пренебречь в знаменателе:

Для координаты следует проделать следующие преобразования

Таким образом, мы получили, что координаты изображения просто в раз больше действительных координат шарика. Следовательно, все кинематические характеристики движения изображения шарика (в т.ч. и вектор скорости) так же будут в больше соответствующих характеристик движения самого шарика. Таким образом. Вектор скорости видимого движения совпадает по направлению с вектором , но его длина в полтора раза больше.