Почему цикл Карно лучше других? — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2013 11 класс № 1

1. Квадратный цикл.

Так как цикл «квадратный», то объем и давление газа возрастают в пределах цикла в одно и тоже число раз. Их произведение (пропорциональное температуре) возрастает в раз, поэтому максимальные объем и давление (в состоянии 3) находятся по формулам Газ получает теплоту на участках 1-2 и 2-3.

Суммарное количество теплоты, полученное газом равно Работа совершенная газом за цикл числено равна площади цикла: Следовательно, КПД цикла равен Как и следовало ожидать, при КПД обращается в нуль, а при возрастании стремится к предельному значению . Для построения графика полученную зависимость удобно представить в виде: График этой зависимости показан на бланке (кривая - 1)

2. Треугольный цикл

Расчет КПД проводится аналогично. Газ получает теплоту только на участке 1-2. По первому закону термодинамики, это количество теплоты равно Работа, совершенная за цикл:

КПД цикла Предельное значение КПД в этом случае равен . Немного лучше!

3. Криволинейно-треугольный цикл.

В данном случае газ получает теплоту на участке изохорного расширения 1-2. Это количество теплоты равно Чтобы не считать работу (т.е. не интегрировать адиабату), найдем количество теплоты, отданное газом на участке 3-1. Для этого следует определить температуру газа в состоянии 3. Точки 2 и 3 соединены адиабатой, причем нам известны значения давлений в крайних точках. Поэтому запишем уравнение адиабатного процесса в координатах . Из уравнения состояния идеального газа выразим и подставим в уравнение адиабаты Показатель степени в этом уравнении равен . Записывая это уравнение для состояний 2 и 3, получим Теперь можно записать выражения для количества отданной теплоты: Наконец, формула КПД обретает вид

В этом цикле при возрастании КПД стремится к 1. График этой зависимости изображается кривой 3 на бланке.

КПД цикла Карно, как известно равен , график этой зависимости – прямая линия, идущая выше всех построенных кривых.

Таким образом, при заданных максимальных и минимальных температурах цикл Карно имеет максимально возможный КПД. Ну а рисунок цикла показан на бланке, как видите, его вид весьма далек от традиционных «ромбиков», которые обычно рисуют в учебниках!

Примечания

2. , β , Этазависимостьболееудобнатаккакизменяетсяотединицыдобесконечностиаборатная β−1 величина от единицы до нуля. ↩
2. Эта зависимость более удобна, так как изменяется от единицы до бесконечности, а боратная величина от единицы до нуля. ↩