Гармоническая разминка — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2024 11 класс № 1

Справочные данные и параметры рассматриваемых систем: сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения м/с, , при малых () справедливы приближенные формулы: , , .

1.1 «Разгон маятника» Известно, что период колебаний математического маятника, подвешенного в лифте Л (Рис. 1), движущемся с ускорением м/с, и в электричке Э, движущейся с некоторым ускорением , один и тот же. Куда едет лифт? Чему равно ускорение электрички?

1.2 «Маятник в шахте» Известно, что на горе высотой км маятниковые часы (Рис. 2) начинают отставать на промежуток времени с в сутки. На какую глубину необходимо опустить эти часы в шахту (см. Рис. 2), чтобы они шли также, как и на горе?

1.3 «Непостоянная планка» Небольшие шарики массами и закреплены на концах лёгкой жесткой тонкой планки длиной . Планка с шариками покоится на поверхности неподвижного шероховатого горизонтального цилиндра радиусом (Рис. 3). В положении равновесия планка горизонтальна и перпендикулярна оси цилиндра (на Рис. 3 показан вид со стороны торца цилиндра). Планку, приподнимая один из шариков, поворачивают на малый угол, так, что она движется по цилиндру без проскальзывания, и отпускают. После этого в системе начинаются колебания, в процессе которых планка движется в плоскости рисунка по поверхности цилиндра также без проскальзывания. Найдите период малых колебаний планки с шариками.

Решение:

1.1

«Разгон маятника» При равномерном движении лифта или электрички в любом направлении (вверх – вниз или вправо – влево) период колебаний математического маятника, подвешенного к потолку, не изменится, поскольку все инерциальные системы отсчета (ИСО) эквивалентны (принцип относительности Галилея). Период колебаний такого маятника будет равен периоду колебаний «неподвижного» маятника длиной , вычисленному по формуле Гюйгенса

где – ускорение свободного падения.

При ускоренном движении лифта или электрички период колебаний маятника можно найти по «модернизированной» формуле Гюйгенса через т.н. «эффективное ускорение»

В случае электрички (её ускорение горизонтально, не важно, в какую сторону) эффективное ускорение находится по теореме Пифагора

Как следует из (2) и (3), в ускоренно движущейся электричке (не важно, разгон или торможение) период колебаний математического маятника всегда меньше, чем покоящегося.

При ускорении лифта вверх эффективное ускорение

а при ускорении вниз

Из сравнения (3), (4) и (5) получаем, что равенство периодов колебаний математического маятника в электричке и лифте может наблюдаться только при ускорении лифта вверх, когда

Из (6) находим

$м с$

По правилам приближенных вычислений в окончательных расчётах сохраняем по две значащие цифры, поскольку «худшее» из данных условия задачи содержит две значащие цифры (не путать с цифрами после запятой!).

Подчеркнем, что (4) задает направление ускорения лифта (вверх), а в задаче спрашивается: куда он едет? Но за направление движения «отвечает» скорость лифта, а не его ускорение. Следовательно, ехать лифт при этом может «куда угодно»: как вверх (ускоряется), так и вниз (тормозится) – в обоих случаях ускорение будет направлено вверх. Таким образом, распространенный ответ «лифт едет вверх» является неполным, а строго говоря – неверным.

1.2

«Маятник в шахте» При подъёме в гору на малую высоту (по сравнению с радиусом Земли) несколько уменьшается ускорение свободного падения .

Действительно, из закона всемирного тяготения следует, что на поверхности Земли

где $Н м кг$ — гравитационная постоянная, $кг$ и $м$ — соответственно, масса и радиус Земли.

Соответственно, период колебаний маятника часов по формуле Гюйгенса будет равен

При подъёме на высоту расстояние до центра Земли увеличивается, следовательно

Как следует из (10), только при , т.е. на высоте $км$ над поверхностью Земли (глубокий космос!) ускорение свободного падения уменьшается в 2 раза (на 50%).

Таким образом, высоту $км$ уверенно и с большой точностью можно считать малой, т.е. гораздо меньше радиуса Земли. В задаче не требуется, но преобразуем (10) для малых высот () с учетом математической подсказки из условия задачи

тогда

С учетом (9) и (10), на высоте над поверхностью земли период колебаний математического маятника составит

Поскольку у правильно идущих часов $с$ , то для случая часов на горе получим

$с$

тогда за сутки () они сделают качаний (меньше, чем на поверхности)

Это и соответствует суточному отставанию на $с$ , приведенному в условии.

При опускании в шахту на глубину ускорение свободного падения также уменьшается, но по линейному закону

Этот эффект связан с тем, что внешние (по отношению к текущему положению тела) слои Земли «перестают» притягивать тела, уменьшая тем самым «эффективную», т.е. гравитирующую массу Земли. Учет притяжения внутренних слоёв Земли и приводит к зависимости (16).

Соответственно, период колебаний маятника в шахте на глубине будет равен

Сравнивая (13) и (17), находим, что для одинакового замедления хода маятниковых часов на горе и в шахте необходимо выполнение условия равенства их периодов колебаний (время суточного отставания с дано для справки, и для решения не потребовалось) Расчет даёт $к м$ Как видим из (19), для «одинакового отставания» маятниковые часы необходимо опускать в шахту на бóльшую глубину (в два раза!), чем поднимать в гору. Оно и понятно, поскольку в шахте ускорение свободного падения (16) убывает с глубиной в два раза медленнее, чем на горе (12).

Можно сказать и иначе: при одинаковых маятниковые часы в шахте отстают в два раза меньше, чем на горе, т.е. идут точнее. В этом смысле лучше «зарываться», чем «подниматься»! ☺

1.3

1.3 «Непостоянная планка» В положении равновесия системы моменты сил тяжести шариков (массой планки пренебрегаем, поскольку она лёгкая) относительно точки касания планки и цилиндра должны быть равны (Рис. 01) где и – плечи соответствующих сил тяжести. Можно сказать и иначе – центр масс системы при равновесии должен быть в точке .

Кроме того, выполняется очевидное условие Из системы уравнений (20) и (21) находим Рассмотрим механическую систему в момент, когда планка с шариками отклонена от положения равновесия на малый угол и касается цилиндра новой точкой (Рис. 02).

Поскольку планка двигалась по цилиндру без проскальзывания, то длина отрезка ( – прежняя точка касания) равна длине дуги ( – верхняя точка цилиндра) Подчеркнем, что точки и не лежат на одной вертикали, хотя для решения это не важно.

При отклонении планки от положения равновесия точка опустилась (Рис. 03) на некоторую высоту относительно верхней точки цилиндра.

Из Рис. 3 с учетом малости угла и подсказки из условия находим

Соответственно, при отклонении планки центр масс системы поднялся относительно начального уровня (с учетом малости угла и подсказки из условия) на высоту Следовательно, потенциальная энергия $п$ системы при отклонении планки с шариками на малый угол увеличилась на величину $п$ Заметим, что (26) можно получить и другим способом: рассматривая смещение по вертикали каждого шарика. Придётся немного больше «попотеть» с преобразованиями, но результат, конечно же, получится таким же.

Кинетическая энергия системы в рассматриваемый момент складывается из кинетических энергий шариков (планка легкая) $к$ Однако, из-за смещения точки касания цилиндра планкой (из в ) изменятся расстояния до мгновенной оси вращения, следовательно, линейные скорости мгновенного вращения шариков станут равными где – мгновенная угловая скорость вращения планки.

Подставляя (28) в (27), с учетом (20), получим $к$ При малых вторым слагаемым в (29) можно пренебречь (оно второго порядка малости, поскольку в квадрате!), тогда кинетическая энергия системы принимает «красивый» вид $к$ Запишем закон сохранения энергии для данной колебательной системы $п к$ Далее для получения классического уравнения гармонических колебаний можно найти производную от (31) по времени и традиционным способом найти период колебаний системы.

Однако проще и короче провести энергетическую аналогию с пружинным маятником, для которого $п к$ и период колебаний Сравнивая (31) и (33), находим, что для планки с грузами роль массы играет величина , называемая моментом инерции системы. Роль коэффициента упругости пружины играет величина .