Архимед и объем шарового сегмента — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2023 9 класс № Э1

1.1

Измеренная зависимость показаний динамометра от объема погруженной части цилиндра приведена в таблице 1 и на графике.

Таблица 1.

V, мл	F, Н
2,0	0,47
4,0	0,44
6,0	0,42
8,0	0,40
10,0	0,38
12,0	0,34
14,0	0,32
16,0	0,30

1.2

Теоретическая зависимость имеет очевидный вид

1.3

Так как полученная зависимость близка к линейной, то она подтверждает справедливость закона Архимеда.

1.4

Коэффициент наклона прямой на графике зависимости равен $мл$

Сравнивая с теоретической формулой (1), получаем, что

Откуда находим (все единицы надо перевести в единицы СИ), что плотность воды равна $кг м$

1.5

Аналогичные измерения для шара дали результаты, приведенные в Таблице 2 и на соответствующем графике.

Таблица 2.

V, мл	F, Н
10	0,99
20	0,88
30	0,74
40	0,63
50	0,52
60	0,42
70	0,32
80	0,24

1.6

Коэффициент наклона графика равен $мл$ Откуда находим плотность воды $кг м$

2.1

Результаты градуировочных измерений приведены в Таблице 3 и на графике.

Таблица 3.

V, мл	H, см
100	2,2
200	3,8
300	5,8
400	7,5
500	9,3

2.2

Параметры зависимости имеют следующие численные значения $см$ $см$ Параметр имеет смысл площади поперечного сечения стакана.

2.3

Для измерения глубины погружения и объема сегмента следует измерять следующие величины по миллиметровой шкале: - высота уровня воды в стакане; - высота, на которой находится нижняя точка шара. Тогда объем погруженного сегмента шара рассчитывается по формуле Где - высота уровня воды в стакане без погруженного шара. Высота сегмента равна Результаты измерений этих величин при различных степенях погружения шарика в стакан, а также результаты необходимых расчетов приведены в Таблице 4. В эксперименте $см$

Таблица 4.

, см	, см			, мл
6,1	5,5	0,6	0,0	0,00	0,222	0,000
6,2	5,2	1,0	0,1	5,59	0,370	0,659
6,4	4,9	1,5	0,3	16,77	0,556	0,879
6,5	4,6	1,9	0,4	22,36	0,704	0,730
6,7	4,2	2,5	0,6	33,54	0,926	0,633
7,1	3,7	3,4	1,0	55,90	1,259	0,570
7,3	3,4	3,9	1,2	67,08	1,444	0,520
7,4	2,9	4,5	1,3	72,67	1,667	0,423
7,5	2,6	4,9	1,4	78,26	1,815	0,384
7,6	2,3	5,3	1,5	83,85	1,963	0,352

График полученной зависимости показан на рисунке.

2.4

Для расчетов коэффициентов в формуле для объема сегмента , представим ее в линеаризованном виде где - радиус шара, . Результаты расчетов величин и приведены в двух последних столбцах таблицы 4. График этой линеаризованной зависимости близок к линейному. По этому графику находим, что , . Заметим, что эти значения можно найти по двум известным значениям : при (шарик погружен на половину); при (шарик погружен полностью).

← Подсказки Оценить своё решение →

Решение

Похожие задачи

Оригинал в архиве олимпиады