Подводный телеграфный кабель — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2021 10 класс № 3

1.1

Сопротивление центральной медной жилы рассчитывается по известной формуле $Ом$

1.2

Для расчета сопротивления изоляции необходимо учесть, что ток идет поперек изоляционного слоя, поэтому это сопротивление равно $Ом$

Уменьшение силы тока в кабеле и его утечка.

2.1

По определению электрического напряжения, для каждой ячейки, состоящей из двух резисторов и одного резистора напряжение может быть представлено в виде Из этой формулы следует, что

2.2

Рассматривая силы токов, входящих в каждый верхний узел цепи, можно записать здесь - сила тока утечки в данном звене.

Если подставить выражения для сил токов (4) в формулу (5), то получим искомое соотношение между напряжениями Его удобно представить в виде

2.3

Для проверки предположения о геометрической прогрессии, подставим явные выражения для напряжений в формулу (7): После сокращения, получим квадратное уравнение для знаменателя прогрессии Таким образом, предположение о геометрической прогрессии выполняется, если ее знаменатель удовлетворяет уравнению (9). Решением этого уравнения являются числа

X класс. Теоретический тур. Вариант 1.

Из двух корней этого уравнения следует выбрать корень со знаком «минус», так как второй корень оказывается больше 1. В этом случае напряжения и, следовательно, силы токов должны возрастать до бесконечности, что физически не возможно.

Аккуратное вычисление параметра приводит к значению , где .

Обратите внимание на интересную «игру» малых величин: отношение сопротивлений, входящих в формулу (10) величина порядка , найденный по этой формуле корень отличается от единицы на величину порядка . При умении правильно работать с малыми величинами этот результат можно получить следующим образом:

На последнем шаге отброшен малые величины, имеющие больший порядок, чем 0,5. Эта элементарная цепочка приближений дает тот же результат, что и громоздкий расчет по формуле (10)

2.4

Так как все наши расчеты приведены для одного звена длиной в 1 км, по расстоянию в 2000 км соответствует звеньев. С помощью формулы для геометрической прогрессии, находим, что убывание напряжения в кабеле равно

т.е примерно в 2 раза. Во столько же раз убывает и сила тока в кабеле.

Не смотря на то, что сопротивление утечки почти в 10 миллионов раз превышает сопротивлении основной жилы, на больших расстояния утечки тока оказываются существенными.

, имеющие больший порядок, чем 0,5.Эт а элемент арная цепочка приближ ений дает т от ж е результ ат , чт о и громоздкий расчет по формуле (10)