Часть 1. Погрешность делителя напряжения.

1.1 Расчет напряжений проводится с использованием закона Ома и законов последовательного и параллельного соединения проводников. Так

Для расчета напряжения при подключении исследуемой цепи в формуле (1) сопротивление заменить сопротивлением параллельно соединенных резистора и исследуемой цепи сопротивлением . При этом

Тогда

При выводе учтено, что для малого изменения напряжения должно выполняться условие . На сколько это меньше, показывает формула (3), из которой следует, что относительное изменение напряжения равно

Указанное изменение напряжение не превысит указанную величину при выполнении условия

При Ом и

Теоретический тур. Вариант 2. 8

Часть 2. Погрешность, вносимая амперметром

2.1 Силы тока в приведенных цепях рассчитываются элементарно:

Таким образом, относительное изменение силы тока при подключении амперметра равно Указанное требование будет выполнено, при

Часть 3. Погрешность, вносимая вольтметром.

3.1 Для решения этой части задачи достаточно заметить, что рассматриваемые здесь схемы полностью эквивалентны схемам, рассмотренным в Части 1. Поэтому можно воспользоваться результатами, полученными в этой части, если сопротивление заменить на сопротивление вольтметра . Тогда относительное изменение напряжения не превысит 1% при выполнении условия

Часть 4. Корректировка измеренной ВАХ

4.1 В использованной схеме показания вольтметра равны напряжению на исследуемом элементе

Амперметр показывает сумму сил токов через исследуемый элемент и вольтметр:

Таким образом, для корректировки полученной зависимости необходимо из показаний амперметра вычесть силу тока через амперметр, которая рассчитывается по закону Ома:

Необходимые расчеты и скорректированный график приведены в таблице и на бланке. На этом графике: верхняя кривая – исходный Рафик; нижняя прямая – зависимость силы тока через вольтметр от напряжения, средняя кривая – «истинный» график вольтамперной характеристики исследуемого элемента. Теоретический тур. Вариант 2. 9

Бланк к задаче 3 (Часть 4)

Таблица 1.

Расчетные формулы

Сила тока через вольтметр: .

Сила тока через исследуемый элемент .

Теоретический тур. Вариант 2. 10

Решения задач. 10 класс.

Задача 1. Привязанная тележка

Часть 1. «Высокий блок»

1.1 За малый промежуток времени тележка сместится вправо по горизонтали на расстояние . При этом длина нити уменьшится на величину . Из соответствующего прямоугольного треугольника получаем

Из (1) находим искомую зависимость

1.2 Используя (2), найдем искомые значения скоростей тележки на бесконечности и при .

Часть 2. «Подвижный блок»

2.1 Поскольку нить нерастяжима, то длина ломаной при движении тележки остаётся постоянной. Следовательно, уменьшение длины одного звена ломаной за некоторый промежуток времени должно равняться увеличению длины её второго звена.

Пусть за небольшой промежуток времени тележка сместится вправо на расстояние . При этом длина участка нити уменьшится на величину (Рис. 2)

С другой стороны, длина участка нити за этот же промежуток времени увеличится на

Приравнивая (5) и (6) по условию не растяжимости нити, получим

Из (7) находим искомую зависимость

2.2 Используя (8), найдем искомые значения скоростей тележки на бесконечности и при

Заметим, что полученное значение (9) можно было найти и без использования (8), поскольку соответствует случаю подвижного блока, на котором «проигрывают» в скорости в два раза.

Теоретический тур. Вариант 1.

Часть 3. «Низкий блок»

3.1 Данная часть задачи самая простая, поскольку при такой схеме вытяжки тележки её скорость независимо от угла всегда будет равна по модулю скорости нити.

Задача 2. Картезианский водолаз.

Часть 1. Вынужденное погружение.

1.1 Так как температура воздуха в трубке и его масса не изменяются, то для этого воздуха справедлив закон Бойля-Мариотта: С другой стороны, давление воздуха в трубке можно выразить через гидростатическое давление воды: Здесь, как сказано в условии давления воздуха измеряется в метрах водяного столба.

В этих уравнениях две неизвестные величины: давление воздуха в трубке и высота , поэтому эта система может быть решена: Из двух корней следует выбрать корень со знаком минус. В качестве обоснования такого выбора можно привести следующий: при высота также должна равняться нулю. Поэтому окончательно получим

Схематический график этой зависимости показан на рисунке: при увеличении , величина монотонно стремится к .

Теоретический тур. Вариант 1.

1.2 Силу Архимеда можно выразить по известной формуле, как вес вытесненной воды. Однако, необходимо рассмотреть два случая: А) Глубина погружения меньше длины пробирки . В этом случае Так как растет медленнее, чем , то в этом случае сила Архимеда возрастает при увеличении . Б) Глубина погружения больше длины пробирки . В этом случае В этом случае сила Архимеда с ростом убывает.

Схематический график этой зависимости показан на следующем рисунке.

1.3 Таким образом, сила Архимеда принимает максимальное значение при . Как следует из формулы (4), при этом величина будет равна а максимальное значение силы Архимеда: Заметим, что при это максимальное значение стремится к . Действительно в этом приближении изменение давление воздуха в трубке при погружении пренебрежимо мало, поэтому можно считать, что воздух занимает всю трубку.

1.4 Силу Архимеда можно выразить как разность сил давлений на закрытый верхний торец трубки, поэтому что, конечно, равносильно использованному ранее подходу.

Теоретический тур. Вариант 1.

1.5 На графике зависимости силы Архимеда от глубины погружения отметим уровень силы тяжести. Для этого проведем вертикальную линию до пересечения с графиком зависимости силы Архимеда от глубины. В точке пересечения эта сила будет равна силе тяжести. Далее проведем горизонтальную линию на уровне силы тяжести до пересечения со второй ветвью графика. Абсцисса этой точки и будет искомая глубина .

Легко показать, что положение равновесия в точке является неустойчивым, поэтому, если глубина погружения станет чуть больше, чем , трубка утонет. Таким образом, для расчета этой глубины необходимо решить следующее уравнение Используя полученные формулы для силы Архимеда, получим требуемое уравнение: где обозначено Высота столбика воздуха в трубке, когда она плавает на поверхности.

Данной уравнение очень громоздко. Одна при данных заданных в условии величина . Так , а . Поэтому можно пренебречь изменение давления на высоте трубки. В этом случае - при погружении трубки на ее высоту объем воздуха в ней остается неизменным. В положении равновесия сила Архимеда, а следовательно, и сила тяжести трубки равны . При погружении на глубину давление в трубке становится равным , поэтому высота столба воздуха в трубке оказывается равной При этом сила Архимеда должна стать равной силе тяжести Из этого уравнения элементарно находим

Часть 2 данной задачи решается аналогично, только в записанных уравнениях следует рассматривать зависимость параметров не от , а от давления воздуха в сосуде .

Теоретический тур. Вариант 1.

Часть 3 Конструкторская, предоставляет богатые возможности для творчества. Однако основными идеями являются: помещение трубки в закрытый сосуд, и предварительное наполнении трубки водой, так чтобы она плавала «на грани» - при незначительном изменении объема сосуда (а, следовательно, и объема воздуха в трубке) трубка начинала тонуть.

Задача 3. Амперметр, вольтметр, омметр и пр.

Часть 1. Приборы магнитоэлектрической системы.

1.1 При пропускании тока через рамку на нее будут действовать моменты сил со стороны магнитного поля и со стороны пружины, в результаты рамка перейдет в новое положение равновесия, которое определяется уравнением где - угол отклонения стрелки от «нулевого» положения. Из уравнения (1) следует, что для «линейности» прибора необходимо, чтобы момент со стороны магнитного поля слабо зависел от поворота рамки. Это достигается при , в этом случае . Иными словами, в положении равновесия нормаль к рамке должна быть перпендикулярна линиям магнитного поля, или магнитные линии должны лежать в плоскости рамки. Кроме того, при такой ориентации момент силы со стороны магнитного поля максимален, что повышает чувствительность гальванометра.

1.2 Чтобы «превратить» гальванометр в вольтметр, к необходимо последовательно подключить дополнительный резистор большого сопротивления (значительно превышающего сопротивление элемента, на котором производится измерение напряжения). В этом случае сила тока через гальванометр будет равна Следовательно, диапазон измеряемых напряжений будет лежать в интервале . Данная схема работает строго в линейном режиме.

1.3 Так как гальванометр измеряет силу тока, то омметр должен содержать источник тока. При протекании тока через измеряемый резистор, напряжение на нем пропорционально его сопротивлению. Поэтому желательно, чтобы сила тока в цепи этого резистора не зависела от его сопротивления. Для этого следует источник с большим внутренним сопротивлением (источник тока). Можно просто добавить резистор с большим сопротивлением в измерительную цепь. Далее следует измерять напряжение на измеряемом резисторе, то есть использовать разработанную схему вольтметра. Таким образом, «вырисовывается» следующая схема омметра и его подключения к измеряемому резистору.

Теоретический тур. Вариант 1.

В этой схеме: - сопротивление в цепи источника тока, - сопротивление в цепи вольтметра; измеряемое напряжение. Между этими сопротивлениями должно выполняться соотношение: . При выполнении этих условий сила тока через резистор будет равна: и пропорциональна измеряемому сопротивлению.

Часть 2. Электростатический вольтметр.

2.1 Пластины электродов в области их перекрытия можно рассматривать как конденсатор, емкость которого зависит от смещения подвижной пластины: При проведении измерений этот конденсатор фактически подключается к источнику постоянного напряжения . Поэтому энергия этого конденсатора равна При втягивании подвижного электрода емкость конденсатора увеличивается, поэтому увеличивается и его энергия. Это приводит к определенному парадоксу: пластина должна не втягиваться, а выталкиваться из зазора неподвижного электрода!? Однако, никакого парадокса нет: дело в том, что конденсатор не является замкнутой системой, он подключен к источнику напряжения. При увеличении емкости увеличивается заряд конденсатора, следовательно, источник совершает работу по зарядке конденсатора, поэтому его энергия уменьшается. Изменение энергии источника рассчитывается следующим образом: Полная энергия системы равна Таким образом, при втягивании подвижной пластины суммарная энергия уменьшается, следовательно, на пластину действует сила, направленная к неподвижному электроду и равная 2.2 В положении равновесия эта сила компенсируется силой упругости пружины: Тогда смещение пластины

Теоретический тур. Вариант 1.

2.3 Зависимость смещения от напряжения нелинейная, для ее линеаризации можно попытаться заменить прямоугольные пластины на пластину более «хитрой» формы. Для этого необходимо добиться выполнения условия . Такая геометрическая задача может быть решена.

Часть 3. «Фарадометр»

3.1 Если в цепи подключен вольтметр магнитоэлектрической системы, то его показания будут равны нулю. Так как после зарядки конденсаторов ток через вольтметр прекратится.

3.2 Так как ток через электростатический вольтметр не течет, то верхнюю (с резисторами) и нижнюю (с конденсаторами) ветви моста можно рассматривать независимо. Примем потенциал точки равным нулю. Тогда потенциал точки будет равен Потенциал точки равен напряжению на конденсаторе . Это напряжение можно найти, рассматривая два последовательно соединенных резистора: Показания вольтметра: 3.3 Мост будет сбалансирован при выполнении «симметричного» условия:

Теоретический тур. Вариант 1.

Решения задач. 11 класс.

Задание 1. Легкая разминка

Задача 1.1

1.1.1 Внутренняя энергия газа рассчитывается по формуле: Запишем также уравнение состояния газа Из этих уравнений следует, что Внутренняя энергия воздуха в комнате не изменилась.

1.2.1 Тем не менее, на нагревание воздуха теплота необходима. Изменение внутренней энергии оказалось равным нулю, потому, что часть воздуха вышла наружу. Сложность расчета полного количества теплоты заключается в том, что в процессе разные порции воздуха выходили при разных температурах, получая разное количество теплоты. Рассмотрим, как изменялось количество воздуха в комнате при изменении температуры. Для этого выразим из (2) зависимость количества вещества в комнате от температуры: Тогда при изменении температуры на малую величину число молей уменьшалось на Эта порция воздуха получила количество теплоты, равное Здесь - молярная теплоемкость при постоянном объеме (процесс изобарный). Для точного расчета количества полученной теплоты необходимо проинтегрировать выражение (6). Однако, так как относительное изменение абсолютной температуры не велико, то в знаменателе этого выражения изменением температуры можно пренебречь. Тогда количество теплоты, унесенное на улицу можно представить в виде: Модно заметить, что это выражение модно представить в наглядной форме (которую можно получить на основании качественных физических рассуждений)

Теоретический тур. Вариант 1. 1

Задача 1.2

Причиной изменения интенсивности отраженного света является интерференция волн, отраженных от передней и задней поверхностей пленки. При интерференции двух волн одинаковой интенсивности интенсивность результирующей волны описывается формулой Где разность фаз между интерферирующими волнами. Разность фаз между указанными волнами пропорциональна толщине пленки, или обратно пропорциональна ее площади. При малом изменении площади, толщина пленки также будет изменяться мало, тогда это изменение толщины можно выразить следующим образом Таким образом, можно считать, что изменение толщины пленки, а, следовательно, и разности фаз между двумя волнами пропорционально изменению ее площади. Так как при начальной площади интенсивность достигла максимума, то при этой площади разность фаз составляла целое число , поэтому можно положить, в этот момент разность фаз равнялась нулю. Для наглядности изобразим график интенсивности отраженного света от разности фаз.

Итак, при разность фаз также равнялась нулю, а интенсивность достигла максимального значения в 2 условных единицы. Далее интенсивность монотонно убывала – следовательно, все изменения проходят в пределах одного порядка интерференции. Затем интенсивность уменьшилась в 4 раза, следовательно, она стала равной . Глядя на формулу (1), не сложно заметить, что в этот момент косинус сдвига фаз стал равным , что соответствует разности фаз в . Для того, чтобы интенсивность стала равной нулю, необходимо чтобы разность фаз стала равной . То есть фаза должна дополнительно изменится на . При изменении площади на величину , фаза должна измениться в 5 раз меньше, чем при изменении площади на величину . А так как изменение разности фаз и изменение площади пропорциональны друг другу, то изменение площади должно быть в 5 раз меньше, т.е.

Теоретический тур. Вариант 1. 2

Задача 1.3

Запишем уравнения закона сохранения импульса

И закона сохранения энергии

Здесь , - импульс и энергия электрона после взаимодействия. Добавим уравнение связи между энергией и импульсом электрона

При аккуратном (и не слишком громоздком) решении полученной системы уравнений (1) -(3). получаем известный результат для сдвига длины волны:

Теоретический тур. Вариант 1. 3

Задача 2. Негармонические колебания.