Полупроводник — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2009 11 класс № 3

1.1

По закону Ома для участка цепи сила тока равна Подставляя известные формулы:

сопротивления проводника ;
связи напряжения и напряженности ;
связи силы и плотности тока

в уравнение (1), получим , откуда следует, что . Очевидно, что направление движения заряженных частиц совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля, поэтому

1.2

За время площадку площадью , расположенную перпендикулярно векторам скоростей частиц, пересекут частицы, находящиеся от площадки на расстоянии . Объем области, опирающейся на выделенную площадку, частицы в котором пересекут площадку равен , число частиц в нем , они переносят заряд . По определению плотности тока, получим

1.3

Приравнивая выражения для плотности тока (2) и (3), получим Из этой формулы выразим среднюю скорость движения частиц . Сравнивая это выражение с определением подвижности , находим, что проводимость металла находится по формуле

2.1

Для вычисления удельной проводимости полупроводника необходимо учесть, что ток обусловлен движением как свободных электронов, так и дырок. Не смотря на то, что электроны и дырки движутся в противоположных направлениях, электрические токи, обусловленные их движением, направлены в одну сторону (в сторону движения положительно заряженных дырок). С помощью формулы (5) находим

При подстановке численных значений из Таблицы справочных материалов их необходимо перевести в единицы системы СИ:

$К л м м В с$

$м м$

2.2

Из приведенной в условии формулы

Следует, что температурный коэффициент равен

При малых изменениях температуры отношение приращений следует заменить соответствующей производной¹ .

При повышении температуры увеличивается концентрация носителей тока, что и приводит к увеличению проводимости. Так проводимость пропорциональна концентрации носителей, то

Выражение для равновесной концентрации приведено в условии задачи. Указанное отношение проще вычислить с помощью известного математического приема (хотя можно пользоваться и простыми правилами вычисления производных):

При расчетах необходимо правильно перевести электрон-вольты в джоули с помощью соотношения $Д ж э В$ :

3.1.1

Красной границе фотоэффекта соответствую фотоны, энергия которых равна ширине энергетической зоны

Расчет длины волны не представляет труда м ,663⋅10Дж⋅с⋅0,3⋅10 hchcс−6 =E⇒λ==≈0,1⋅10м=0,1мкм (12) gкр.−19 λE6,1⋅10Кл⋅,112эВ кр

$Д ж с м с К л э В м м к м$

3.1.2

Преобразуем выражение для коэффициента поглощения к виду, удобному для дальнейших расчетов:

Здесь - постоянная величина; - длина волны красной границы фотоэффекта.

3.1.3

В единицу времени на пластинку падает фотонов ( - площадь поверхности), из них поглощается, что приводит к появлению электронно-дырочных пар. Следовательно, в единице объема в единицу времени появляется пар электронов (это есть скорость генерации).

3.2.1

Концентрация электронов в проводнике изменяется в ходе генерации и регенерации, поэтому уравнение изменения концентрации может быть записано в виде

3.2.2

При отсутствии освещения скорость изменения концентрации носителей тока можно представить в форме уравнения

Представим концентрации носителей тока в виде . Скорость рекомбинации пропорциональна квадрату концентрации свободных электронов, поэтому запишем , где - некоторый коэффициент пропорциональности. Теперь уравнение (11) принимает вид

При можно пренебречь слагаемым пропорциональным . Кроме того, равновесная концентрация носителей удовлетворяет условию . Таким образом, уравнение (12) приобретает требуемый вид

Введенный коэффициент рекомбинации выражается через время жизни электронно-дырочной пары

Таким образом, скорость тепловой генерации выражается формулой

а скорость рекомбинации

3.2.4

В стационарном режиме концентрация свободных электронов не изменяется, следовательно, в этом случае выполняется соотношение Подставим в это уравнение полученные ранее выражения для скоростей потоков и коэффициента поглощения Из этого уравнения получаем $к р$ Для упрощения расчетов перепишем данное выражение в виде $к р к р к р к р к р к р$ где в одном безразмерном коэффициенте объединились все параметры кремния $к р Вт м м Дж с м с м с м$ (здесь $Вт см Вт м$ - единица измерения интенсивности). Окончательно получаем искомую формулу $к р к р$

3.3.1

Сила тока через фоторезистор при постоянном напряжении на нем пропорциональна проводимости фоторезистора, которая в свою очередь пропорциональна концентрации носителей тока. Следовательно, формула (19) также описывает изменение силы тока $к р к р$

3.3.2

Подставляя значение длины волны в выражение (20), вычислим значение коэффициента при интенсивности $к р к р$ Такое большое значение этого коэффициента позволяет пренебречь 1 под корнем, то есть сила тока пропорциональна корню квадратному из интенсивности падающего света. График этой зависимости показан на рисунке.