Разминка — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2006 9 класс № 1

1.1.1

На свечу, погруженную в воду, действуют сила тяжести $Т$ и сила Архимеда $А$ .

Чтобы свеча вообще плавала, должно выполняться условие плавания: архимедова сила должна быть равна силе тяжести $А Т$ Для устойчивого плавания свечи необходимо, чтобы при отклонениях от вертикального положения возникал момент сил, возвращающий свечу в первоначальное положение. Это условие будет выполнено, если точка приложения силы тяжести (центр масс свечи) будет лежать ниже точки приложения выталкивающей силы Архимеда совпадающей с центром масс вытесненной жидкости – центром плавания (рис.1а), в противном случае вертикальное положение будет неустойчиво (рис.1б).

В случае однородной свечи центр тяжести всегда будет находиться выше центра плавания, поэтому свеча не может устойчиво плавать в вертикальном положении. Именно для этого к нижнему основанию свечи прикрепляется алюминиевая шайба.

Если длина свечи больше нескольких диаметров, то можно пренебречь изменением положения точки приложения силы Архимеда при ее наклоне.

Обозначим глубину погружения свечи с алюминиевой шайбой под воду (рис. 2). Тогда условие (1) записывается, как откуда следует Свеча будет плавать, если глубина её погружения не превышает сумму высот свечи и шайбы, то есть при . С учетом соотношения (3) это условие принимает вид Теперь определим, при какой высоте свеча сможет плавать устойчиво в вертикальном положении. Выберем ось координат , с началом отсчета по нижнему краю алюминиевой шайбы. Тогда координата центра плавания будет равна $А$

а координата центра тяжести Таким образом, условие устойчивости формулируется в виде неравенства Совместное решение неравенств (4) и (8), первое из которых линейное, а второе - квадратное, и дает нам интервал длин, при которых свеча устойчиво будет плавать в воде $с м с м$

1.1.2

Свеча погаснет, когда её длина станет равной минимально возможной для плавания, т.е. $с м$ . Значит, гореть она будет в течение времени $м и н$ Отметим, что все время горения свеча будет плавать устойчиво.

Дополнения.

1.Проиллюстрируем графически решение данной задачи. На рис. 3 построены графики зависимостей полной длины свечи вместе с шайбой ; глубины погружения , рассчитанной по формуле (3); координаты центра плавания (6) и координаты центра масс (7) от длины парафиновой части свечи (деления шкал даны в сантиметрах). Заливкой выделены области, в которых выполняются условие плавания и условие устойчивости.

Рис.3

Приведем более подробные выкладки, необходимые для решения системы неравенств. Для упрощения работы с громоздкими выражениями в дальнейшем введем безразмерные переменные , , . Используя данные условия ; . В новых переменных глубина погружения $\text is only supported in math moded = (\eta \xi + \eta_1) h, \tag{\text{д}1}$ а условие плавания (4) превращается в $\text is only supported in math mode\eta \xi + \eta_1 \le \xi + 1. \tag{\text{д}2}$ Решаем это неравенство: и поскольку , то $\text is only supported in math mode\xi \ge \frac{\eta_1 - 1}{(1 - \eta)}. \tag{\text{д}3}$ Минимальная высота свечи, при которой она ещё сможет плавать, равна $\text is only supported in math model_{\min} = \xi_{\min} h = \frac{\eta_1 - 1}{(1 - \eta)} h, \tag{\text{д}4}$ или $с м с м$ . В безразмерных переменных координата центра выталкивания равна $\text is only supported in math modey_A = \frac{d}{2} = \frac{(\eta \xi + \eta_1) h}{2}, \tag{\text{д}5}$ а координата центра тяжести $\text is only supported in math modey_C = \frac{\rho_1 h \frac{h}{2} + \rho l (h + \frac{l}{2})}{\rho_1 h + \rho l} = \frac{\frac{1}{2} \eta_1 + \eta \xi + \frac{1}{2} \eta \xi^2}{\eta_1 + \eta \xi} h. \tag{\text{д}6}$ Выполним математические преобразования необходимые для решения неравенства (8) с учетом того, что Мы получили квадратичное неравенство относительно . Поскольку коэффициент при положительный, решением этого неравенства будет , где - корни квадратного уравнения Его дискриминант равен При наших данных , следовательно, существует 2 действительных корня этого уравнения:

Подстановка численных значений исходных данных приводит к результату ; .

Таким образом, условие устойчивого плавания имеет вид: а с учетом условия плавания (дЗ)) Итак, для устойчивого плавания должно выполняться $см см$ , для плавания вообще $см$ . Таким образом, свеча будет устойчиво плавать, если длина свечи лежит в интервале $см см$ .

Задача 9.1.2

После замыкания электрической цепи вследствие выделения тепла Джоуля-Ленца температура проводника начнет расти. Однако как следует из условия, по мере роста температуры проводника будет увеличиваться и количество теплоты, отдаваемое им в единицу времени в окружающее пространство. Следовательно, при некотором значении мощность тепловыделения в проводнике сравняется с мощностью $охл$ тепловых потерь (охлаждения) через его поверхность, и дальнейший рост температуры в системе прекратится.

Запишем условие динамического равновесия $охл$ с учетом закона Джоуля-Ленца где — максимальная (установившаяся) температура проводника.

Подставляя в (1) выражения для сопротивления проводника и площади его боковой поверхности (теплоотдачей через торцы цилиндра пренебрегаем, т.к. ) получим где — напряжение на проводнике. Поскольку объем проводника остается неизменным, то изменение длины проводника приводит к изменению его радиуса. Эта связь следует из выражения для объема Подставляя, это выражение в формулу (2), для температуры проволоки получим где — постоянный для данных условий коэффициент. Записав два подобных соотношения для начальной конечной длины проводника и разделив их друг на друга, получим пропорцию

из которой следует ответ задачи .

Уменьшение температуры проводника после растяжения вполне понятно и на качественном уровне: к этому ведет как падение мощности тепловыделения вследствие увеличения сопротивления, так и увеличение площади теплоотдачи (поверхности) проводника.

Отметим, что радиус проводника, заданный в условии задачи, не вошел в конечный результат. Однако малое численное значение этого параметра позволяет считать, что распределение тока внутри проводника является однородным.

Задача 9.1.3

Как следует из рисунка, увидеть в зеркале минимального размера некоторую точку

на глобусе можно только в том случае, если луч, идущий по касательной к шару в этой точке попадет на край зеркала

Следует заметить, что в этом случае она будет всего лишь «на горизонте» глобуса, но предположим, что острота зрения смотрящего достаточна для подобного наблюдения.

Искомый минимальный радиус зеркала найдем как Поскольку , то окончательно получаем Расчет по (2) для угла дает $м$ Интересно, что, чисто теоретически из (2) следует, при неограниченном возрастании радиуса зеркала () можно увидеть даже точку северного полюса глобуса (), что в реальности невозможно из-за ограниченной разрешающей способности глаза человека.