«Два шарика на нити» Вращение шариков (материальных точек) на легкой нити по плоскости будет происходить вокруг их центра масс – точки (Рис. 01). При этом сама точка будет оставаться неподвижной относительно гладкой горизонтальной плоскости, т.к. нет горизонтальных сил, способных «сдвинуть» систему с места (силы натяжения нитей и внутренние, их сумма равна нулю).

Таким образом, траектории шариков будут представлять собой горизонтальные окружности радиусами и с центром в точке . Радиусы траекторий шариков найдем из традиционной системы уравнений для центра масс двух материальных точек (см. Рис. 01) Из (1) находим искомые расстояния до центра масс (оси вращения системы) Поскольку трения в системе нет, то угловая скорость вращения шариков вокруг точки будет по инерции оставаться постоянной .

Из второго закона Ньютона с учетом (2) для движения первого шарика в горизонтальной плоскости найдем Аналогично для второго шарика Как следует из (3) и (4), силы натяжения нитей в такой системе (нить легкая) одинаковы и равны где – т.н. «приведенная масса», вспомогательная величина с размерностью массы, часто возникающая при описании системы двух тел. Так из (5) следует, что сила натяжения, действующая на каждый из шариков, равна силе натяжения при движении тела с приведенной массой на нити длиной с той же угловой скоростью .

«Три шарика на нити» При добавлении третьего шарика на середину нити физика процесса не изменится – центр масс трех шариков (Рис. 02) по-прежнему будет неподвижным при вращении системы на горизонтальной плоскости. Соответственно, через точку будет проходить вертикальная ось вращения всей системы с постоянной угловой скоростью .

Однако теперь модули и сил натяжения легких нитей, связывающих грузы, будут различными, поскольку шарик имеет массу, и для его ускоренного движения нужна ненулевая разность сил.

Пусть расстояние от шарика с массой до центра масс равно (Рис. 02). Второй закон Ньютона для движения каждого из шариков в горизонтальной плоскости примет вид Разделив (6) на (7), придем к равенству из которого найдем Подставляя (10) в (6), найдем угловую скорость вращения шариков а подставляя (10) в (8), найдем массу третьего шарика

1.3 «Космическое вращение» Для решения этого пункта достаточно догадаться, что роль третьего шарика массой здесь играет трос, центр масс которого находится на половине длины , т.е. в той же точке где находился третий шарик (это важно!).

Следовательно, можно просто аккуратно воспользоваться формулами (11) и (12) с учетом условия малости разности сил натяжения концов троса (вдоль самого троса эта сила меняется, но уравнения записываются для движения центра масс тела!).

Будем считать, что второй отсек массивнее первого , тогда понятно, что , а .

Соответственно, масса троса, соединяющего отсеки космической станции, будет равна а угловая скорость вращения станции где — приведенная масса отсеков станции (без массы троса!).

Обратите внимание, что результат (14) напрямую следует из (5), поскольку масса троса гораздо меньше массы каждого из отсеков по отдельности.