Во время движения бусинки в магнитном поле на бусинку действует сила Лоренца, направленная перпендикулярно стержню (перпендикулярно плоскости рисунка) Под действием этой силы бусинка будет прижиматься к стержню, вследствие чего возникнет сила трения, направленная в сторону противоположную вектору скорости На основании второго закона Ньютона ускорение бусинки выражается формулой Ускорение бусинки направлено в сторону, противоположную вектору скорости, поэтому это выражение можно представить в векторной форме

Так как ускорение отрицательно, то модуль скорости будет монотонно убывать до нуля, с постоянно уменьшающимся ускорением. Схематический график этой зависимости показан на рисунке.

Так нам необходимо найти путь до остановки (не важно за какое время), то в уравнении (3) избавимся от времени:

Мы учили, что . Из полученного уравнение следует, что скорость бусинки линейной уменьшается по мере увеличения пройденного пути. Из этого уравнения следует, что путь, пройденный до остановки равен

Так как , то ни модуль силы Лоренца, ни модуль силы трения не изменяться, иными словами уравнение (4) останется справедливым и в случае изменения направления вектора начальной скорости. Следовательно, и в этом случае пройденный путь будет определяться формулой (6):

2.1 Движение без электрического поля.

При движении по окружности бусинка движется с центростремительным ускорением равным Это ускорение может сообщить только сила нормальной реакции со стороны кольца, равная Поэтому на бусинку также действует сила трения, равная Наличие силы трения приводит к тому, что скорость (следовательно, и кинетическая энергия) бусинки уменьшается. Если бусинка сместилась по кольцу на малый угол , то уменьшение кинетической энергии бусинки равно работе силы трения, что выражается уравнением Из этого уравнения следует, что уменьшение энергии пропорционально текущему значению энергии. Если обозначить значение энергии в начале рассматриваемого интервала - , а в конце интервала - , то связь между ними задается выражением Что и доказывает убывание энергии в геометрической прогрессии.

Как показано в предыдущей части кинетическая энергия, следовательно, и скорость при повороте на любой угол убывают в геометрической прогрессии. Тогда скорость при повороте на один оборот может быть выражена следующим образом Где . При повороте на 5 оборота скорость станет равной

Подстановка численного значения дает результат что соответствует уменьшению скорости на 67%.

2.2 Движение в электрическом поле.

Силу нормальной реакции, следовательно, силу трения можно уменьшить с помощью силы электростатического взаимодействия, которая должна быть направлена к центру кольца. Это возможно в том случае, если в центр кольца поместить отрицательный заряд.

В этом случае уравнение 2 закона Ньютона в проекции на радиальное направление будет иметь вид Следовательно, сила нормальной реакции будет равна Сила нормальной реакции и сила трения станут равными нулю при При этой скорости бусинка будет двигаться без трения, т.е. с постоянной по модулю скоростью.

Если сила нормальной реакции отлична от нуля, то независимо от ее направления сила трения будет направлена в сторону, противоположную вектору скорости. Поэтому модуль скорости всегда будет уменьшаться и стремить к одному из стационарных значений. В случае а) : стремиться к значению В случаях б) скорость бусинки будет стремиться к нулю. Схематические графики этих зависимостей показаны на рисунке. Горизонтальной пунктирной линией отмечено значение .