Так как движение происходит с постоянным ускорением, то закон движения шара имеет вид:

Для расчета времени движения, следует решить уравнение Которое перепишем в традиционном для квадратных уравнений виде:

Дискриминант этого уравнения равен При положительном значении дискриминанта, т.е. при Квадратное уравнение (3) имеет два корня. Физический смысл этого очевиден: шарик будет находиться на высоте два раза: при движении вверх и при движении вниз. При уравнение (3) решений не имеет, что означает, что шарик не поднимется на такую высоту.

Наконец, при уравнение имеет единственное решение. При этом величина принимает максимальное значение

Теоретический тур. Вариант 2. 9 класс. Решения задач. Бланк для жюри. 2

Задача 1.2.

Так как сопротивления всех лампочек одинаковы, то при их параллельном соединении общее сопротивление гирлянды будет равно В этом случае мощность гирлянды будет равна Для расчета сопротивления гирлянды следует решить квадратное уравнение: Это уравнение имеет два корня, если его дискриминант положительный: В этом случае корнями уравнения (2) являются Поэтому число лампочек, при котором мощность принимает найденное значение должно быть равно Здесь квадратные скобки означают целую часть числа. Строго говоря, абсолютно точный ответ на поставленный вопрос может быть получен только при дискретном наборе требуемых мощностей, так как число лампочек – целое число.

При максимальной мощности гирлянды дискриминант уравнения (3) равен нулю, поэтому Откуда следует, что Как следует, из формулы (4) эта мощность достигается, если сопротивление нагревателя равно

Теоретический тур. Вариант 2. 9 класс. Решения задач. Бланк для жюри. 3

Итак, сопротивление гирлянды должно быть равно . Следовательно, в гирлянду надо включить

Не целое число лампочек включать в цепь не рекомендуется. Поэтому необходимо рассчитать мощности гирлянды при двух ближайших к значений числа лампочек по формуле

Численные значения этих мощностей равны:

Таким образом, окончательный ответ задачи: Максимальная мощность гирлянды равна при числе лампочек .

Примечание. Учитывая, что исходные численные значения приведены с точностью до , то с данной точностью найденная мощность реализуется при числе лампочек от до .

Теоретический тур. Вариант 2. 9 класс. Решения задач. Бланк для жюри. 4

Задача 1.3.

Запишем выражение для времени движения при произвольном значении :

Для определения минимума этой функции воспользуемся уже апробированной методикой. Сформулируем обратную задачу: при каком значении время движения будет равно ? Для ответа на этот вопрос надо решить уравнение (1), считая неизвестной величиной . Преобразуем это уравнение:

Для упрощения алгебраических выкладок, обозначим , . Тогда уравнение упростится:

Приравняем дискриминант этого уравнения к нулю. В этом случае уравнение (3), а следовательно, и уравнение (2) будут иметь единственное решение, при котором время минимально:

Это условие выполняется при . Следует выбрать положительный корень, по смыслу параметра . Теперь легко находим единственный корень уравнения (3):

Окончательно получаем, что минимальное время движения достигается при

Теоретический тур. Вариант 2. 9 класс. Решения задач. Бланк для жюри. 5