Алгебра и геометрия на наклонной плоскости — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2021 11 класс № 1

Часть 1. Неподвижная наклонная плоскость.

1.1

В соответствии с законом кулона – Амонтона (для силы трения) при скольжении тела, модуль силы трения связан с силой нормальной реакции простым соотношением Как следует из рисунка справедливо соотношение:

1.2

Модуль силы реакции выражается через модуль силы нормальной реакции следующим образом

1.3-14 Так как на брусок действуют только две силы и , то для соскальзывания бруска необходимо, что бы их сумма имела горизонтальную составляющую, направленную в сторону спуска по наклонной плоскости. А это возможно только при Традиционное решение этой задачи: проекция силы тяжести на наклонную плоскость должна превысить силу трения: что равносильно условию (4).

1.4

В предельном случае (начала скольжения) сила реакции направлена вертикально и по модулю равна силе тяжести.

1.5

Известная формула для ускорения бруска на наклонной плоскости может быть получена с помощью рисунка к п.1.3: Горизонтальная составляющая ускорения бруска равна $г о р$ Кроме того, проекции силы тяжести и силы реакции на нормаль к наклонной плоскости равны (т.к. ускорение бруска направлено вдоль наклонной плоскости): Тогда ускорение бруска равно $г о р$ что равносильно формуле (5).

XI класс. Теоретический тур. Вариант 2.

Брусок на ускоренно движущейся призме

2.1

Представим полное ускорение бруска в виде суммы векторов ускорения призмы и ускорения бруска относительно призмы : Уравнение 2 закона Ньютона (в векторной форме) для призмы в этом случае имеет вид: в котором - введенная ранее сила реакции, действующая на брусок со стороны призмы. Важно, что эта сила реакции определяется силой тяжести. Перепишем уравнение (9) в виде Это уравнение можно толковать, как уравнение движения бруска на наклонной плоскости, если ускорение свободного падения равно Как следует из рисунка, вектор отклонен от вектора на угол Отметим, что проведенные рассуждения равносильны переходу в неинерциальную систему отсчета, связанную с призмой. В этой системе отсчета «появляется» сила инерции..., но это выходит за рамки школьной программы.

2.2

Угол наклона плоскости к горизонту также равен углу между вектором ускорения свободного падения и нормалью к плоскости. Поэтому изменение направления вектора ускорения свободного падения (переход от к ) равносильно изменению угла между нормалью к наклонной плоскости и вектором эффективного ускорения свободного падения, т.е. к изменению угла наклона плоскости. Также из рисунка легко заметить, что этот новый угол оказывается равным

2.3

Условие начала скольжения по наклонной плоскости было сформулировано ранее (неравенство (4)), поэтому остается только переписать его: В заключение отметим, что от этого «углового» условия можно перейти и к привычным формулировкам: Это неравенство без труда (но при знании тригонометрических формул) может быть преобразовано к привычному виду.