Условие

Городская олимпиада (3-й этап) 2020 10 класс № 3

Сила гравитационного взаимодействия зависит от расстояния между взаимодействующими телами. Поэтому гравитационные поля, в общем случае, являются неоднородными. Даже небольшие неоднородности этого поля могут приводить ко многим интересным и неожиданным эффектам, некоторые из которых рассматриваются в данной задаче.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли обозначим мс.

Землю будем считать однородным шаром радиуса м. Вращением Земли вокруг собственной оси следует пренебрегать. Все ответы выражайте через эти заданные параметры, гравитационная постоянная и масса Земли в эти ответы входить не должны. Во всех пунктах задачи деформации тел следует считать пренебрежимо малыми.

Используйте приближенную формулу, справедливую при и любых степенях :

Часть 1. Ускорение свободного падения.

1.1 Получите формулу для ускорения свободного падения на расстоянии от центра Земли (). Выразите его через ускорение свободного падения на поверхности Земли .

При малом радиальном отклонении от расстояния на малую величину можно считать, что ускорение свободного падения зависит линейно от малого смещения. Т.е. ускорение свободного падения на расстоянии от центра Земли можно приближенно представить в виде

1.2 Определите значение множителя в формуле (2).

1.3 Рассчитайте, на какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения уменьшается на по сравнению с ускорением на поверхности Земли.

Часть 2. Свободное падение.

В данной части рассматривается движения тела, состоящего из двух массивных шаров (масса каждого кг, радиус см, каждый из них можно рассматривать как материальную точку), соединенных легким (с пренебрежимо малой массой) стержнем длины м.

Стержень свободно падает в поле тяжести Земли, оставаясь в вертикальном положении. Сопротивлением воздуха следует пренебрегать. В некоторый момент времени середина стержня находится на расстоянии от центра Земли.

13

2.1 Получите формулу для силы натяжения стержня в процессе его падения, возникающую вследствие неоднородности гравитационного поля Земли. В этом пункте гравитационным взаимодействием шаров следует пренебрегать.

2.2 Укажите, будет стержень растянут или сжат. Рассчитайте численное значение силы натяжения стержня , если центр стержня находится на высоте км над поверхностью Земли.

2.3 Найдите отношение найденной силы к силе гравитационного взаимодействия между шариками . В расчетах можно принять, что плотность материала шариков равна средней плотности Земли. Оцените численное значение этого отношения .

Часть 3. Орбитальная станция.

Орбитальная станция состоит из двух одинаковых сферических отсеков, соединенных между собой длинным стрежнем. Масса каждого отсека равна , длина стержня . Отсеки можно считать материальными точками, масса стержня пренебрежимо мала. Станция вращается вокруг Земли по круговой траектории, так, что середина стержня находится на расстоянии от центра Земли (очевидно, что ). Станция движется так, что ее ось все время направлена к центру Земли.

3.1 Найдите силу упругости стержня, соединяющего отсеки станции. Укажите, сжат или растянут этот стержень.

14

Примечания

  1. 1. Это же различие легко объяснить, если перейти во вращающуюся неинерциальную систему отсчета, связанной с самой станцией. В этой системе отсчета, на отсеки действуют различные центробежные силы, помимо сил гравитационных. ↩
Смотреть решение →

Оригинал в архиве олимпиады