Нарисуй один шарик и подумай, какие силы на него действуют при малом продольном смещении. Что будет действовать в направлении смещения?

Запиши второй закон Ньютона для шарика и учти закон Гука для пружины: (общее уравнение колебаний).

1. Запиши уравнение движения для смещения с ускорением .
2. Узнай, какого вида это уравнение (какой тип колебаний оно описывает).
3. Вырази частотный параметр из этого уравнения.
4. Выразите из полученной системы.

Смотри на два движущихся шарика: какие пружины тянут каждый из них и от каких относительных смещений зависят силы?

Применяй второй закон Ньютона к каждому шарику и используй линейную силу пружины; удобнее выразить все через найденную ранее величину .

1. Для первого шарика выпиши суммарную силу как разность натяжений соседних пружин и запиши равным этой сумме.
2. Для второго шарика выпиши соответствующее уравнение с силами от соседних пружин и запиши .
3. Раздели оба уравнения на и подставь , чтобы получить систему для .
4. Выразите ускорения и (или перепишите уравнения) через и координаты.

Попробуй искать собственные колебания как синфазные гармоники: какие формы времени удобны для подстановки?

Подставь пробное гармоническое решение в систему уравнений из пункта 2.1 и получишь однородную линейную систему для амплитуд ; совместность этой системы даст уравнение на .

1. Подставь в уравнения движения и сократи общий множитель .
2. Получишь два алгебраических уравнения для и с параметром .
3. Вырази отношение из первого и из второго уравнения.
4. Приравняй два выражения для и выразите из полученной совместности.

Подставь время-зависимость в виде гармоники и посмотри, что остаётся для амплитуд.

После подстановки в разностное уравнение получишь однородную линейную рекуррентную систему для : (общая форма).

1. Сократи общий временной множитель и выпиши уравнение для амплитуд.
2. Приведи его к стандартному симметричному виду рекуррентного соотношения.
3. Обозначь полученную систему для всех от 1 до с учётом граничных условий.
4. Выразите систему уравнений для амплитуд .

Посмотри на граничное условие у крайнего (N‑го) шарика: как оно ограничивает форму стоячей волны по пространству?

Положив (или требуя равенства синусов), получишь уравнение вида , которое приводит к условию и дискретизации .

1. Запиши граничное условие для пробной функции на .
2. Преобразуй разность синусов и выдели ненулевой множитель, чтобы получить условие на аргумент синуса.
3. Выпиши общее решение этого условия в виде кратных значений аргумента и получи формулу для дискретных .
4. Выразите возможные значения параметра (дискретный набор ).