Открой формулу! — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2019 10 класс № Э2

Часть 1. Теоретическая.

Подставим размерности величин, входящих в формулу (1):

Для совпадения размерностей правой и левой частей необходимо выполнение условий

При движении по наклонной плоскости на характер движения оказывает влияние только проекция силы тяжести на наклонную плоскость. Т.е. во всех формулах должна фигурировать только произведение . Следовательно, последний не известный показатель степени в формуле для периода равен . Таким образом, формула для периода колебаний маятника на наклонной плоскости имеет вид

Безразмерный коэффициент не может быть определен методом размерностей.

Часть 2. Экспериментальные исследования.

В работе использовалась установка с наклонной плоскостью длиной см

2.1

Изучение зависимости периода колебаний от высоты наклонной плоскости проводились при длине маятника см.

Результаты измерений представлены в таблице 1. Проводилось несколько (3-4) измерений времен 5 колебаний. После чего проводилось усреднение по всем результатам.

Таблица 1. Зависимость периода от высоты наклонной плоскости.

, см	Времена 5 колебаний				, с	, с
	, с	, с	, с	, с
31,0	15,68	15,60	15,74		1,567	0,407	3,434	0,449
27,5	8,47	8,41	8,44		1,688	0,351	3,314	0,524
24,5	9,01	8,81	9,01		1,789	0,313	3,199	0,581
21,0	9,60	9,55	9,43	9,55	1,907	0,275	3,045	0,645
16,0	10,97	11,04	10,93	11,00	2,197	0,207	2,773	0,787
33,0	7,55	7,69	7,69	7,84	1,539	0,422	3,497	0,431

Так как длина наклонной плоскости постоянна, величина пропорциональна синусу угла наклона плоскости. Поэтому можно анализировать вид зависимости от высоты .

Для проверки предсказанной зависимости можно поступать различными способами. Самым предпочтительным является анализ зависимости в двойном логарифмическом масштабе. Так как , то В этом масштабе зависимость должна быть линейной, причем коэффициент наклона равен показателю степени . График этой зависимости показан на рисунке. График, во-первых, линейный, что подтверждает степенной характер зависимости или . Во-вторых, коэффициент наклона графика равен (МНК) . Тем самым экспериментальные данные с высокой точностью подтверждают предсказанную теоретическую зависимость.

Возможны и другие виды линеаризации, например, показанная на следующем рисунке, где представлена зависимость

. Этот график также подтверждает теоретическую зависимость.

2.4

Проведенные измерения подтвердили справедливость формулы для периода колебаний маятника на наклонной плоскости. Перепишем эту формулу, включив в нее непосредственно измеряемые величины (использовано выражение для синуса угла наклона плоскости)

Для усреднения всех результатов измерений можно построить зависимость периода колебаний

От рассчитываемого параметра . В таблице 3 приведены результаты расчетов этого параметра для обеих серий измерений. Рядом приведен график этой зависимости.

Таблица 3.

	, с	, с
Зависимость от длины нити	0,231	1,721
	0,218	1,624
	0,201	1,477
	0,184	1,377
	0,171	1,269
	0,154	1,140
Зависимость от высоты плоскости	0,212	1,567
	0,225	1,688
	0,238	1,789
	0,258	1,907
	0,295	2,197
	0,205	1,539

Этот график показывает, что результаты всех измерений прекрасно согласуются между собой. Коэффициенты этой зависимости, рассчитанные по МНК, оказались равными

Расчет показывает, что зависимость является прямо пропорциональной. Коэффициент пропорциональности равен

Отметим, что данный коэффициент отличен от . Это связано с тем, что в процессе движения шарик катается по наклонной плоскости. Теоретическое значение этого коэффициента

Таким образом, и численное значение измеренного коэффициента совпадает с теоретическим значением.

Примечания

1. Не путайте показатели степеней с углами! ↩

← Условие Режим тренировки →

Решение

Примечания

Похожие задачи

Оригинал в архиве олимпиады