Открой формулу! — режим тренировки

Режим тренировки Edu

Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.

Несмотря на то, что вы еще не изучали теорию колебаний, предлагаем вам задачу, в которой вы должны самостоятельно получить и экспериментально проверить формулу для периода колебаний шарика на наклонной плоскости.

Закрепите лист картона в штативе, как показано на рисунке, к верхней точке привяжите шарик на нити. У вас есть возможность изменять угол наклона плоскости к горизонту (изменяя высоту ) и длину нити .

Решено

1.1 Используя метод размерностей, определите показатели степеней .

Решено

1.2 С помощью простых физических рассуждений определите показатель степени .

Решено

2.1 Исследуйте зависимость периода колебаний маятника от высоты наклонной плоскости . Укажите, при какой длине нити вы проводили измерения. Постройте график полученной зависимости в таких координатах, чтобы он был линейным, позволяющим определить показатель степени.

Изучение зависимости периода колебаний от высоты наклонной плоскости проводились при длине маятника см.

Результаты измерений представлены в таблице 1. Проводилось несколько (3-4) измерений времен 5 колебаний. После чего проводилось усреднение по всем результатам.

Таблица 1. Зависимость периода от высоты наклонной плоскости.

, см	Времена 5 колебаний				, с	, с
	, с	, с	, с	, с
31,0	15,68	15,60	15,74		1,567	0,407	3,434	0,449
27,5	8,47	8,41	8,44		1,688	0,351	3,314	0,524
24,5	9,01	8,81	9,01		1,789	0,313	3,199	0,581
21,0	9,60	9,55	9,43	9,55	1,907	0,275	3,045	0,645
16,0	10,97	11,04	10,93	11,00	2,197	0,207	2,773	0,787
33,0	7,55	7,69	7,69	7,84	1,539	0,422	3,497	0,431

Так как длина наклонной плоскости постоянна, величина пропорциональна синусу угла наклона плоскости. Поэтому можно анализировать вид зависимости от высоты .

Для проверки предсказанной зависимости можно поступать различными способами. Самым предпочтительным является анализ зависимости в двойном логарифмическом масштабе. Так как , то В этом масштабе зависимость должна быть линейной, причем коэффициент наклона равен показателю степени . График этой зависимости показан на рисунке. График, во-первых, линейный, что подтверждает степенной характер зависимости или . Во-вторых, коэффициент наклона графика равен (МНК) . Тем самым экспериментальные данные с высокой точностью подтверждают предсказанную теоретическую зависимость.

Возможны и другие виды линеаризации, например, показанная на следующем рисунке, где представлена зависимость

. Этот график также подтверждает теоретическую зависимость.

Решено

2.2. Используя результаты измерений, определите показатель степени в формуле (1). Совпадает ли это значение с результатами ваших теоретических измышлений в п.1.2?

Решено

2.3 Исследуйте зависимость периода колебаний от длины нити . Укажите, при какой высоте вы проводили измерения. Постройте график полученной зависимости, в таких координатах, чтобы он был линейным, позволяющим определить показатель степени.

Решено

2.4 Используя результаты измерений, определите показатель степени в формуле (1). Совпадает ли это значение с результатами ваших теоретических измышлений в п.1.2?

Проведенные измерения подтвердили справедливость формулы для периода колебаний маятника на наклонной плоскости. Перепишем эту формулу, включив в нее непосредственно измеряемые величины (использовано выражение для синуса угла наклона плоскости)

Для усреднения всех результатов измерений можно построить зависимость периода колебаний

От рассчитываемого параметра . В таблице 3 приведены результаты расчетов этого параметра для обеих серий измерений. Рядом приведен график этой зависимости.

Таблица 3.

	, с	, с
Зависимость от длины нити	0,231	1,721
	0,218	1,624
	0,201	1,477
	0,184	1,377
	0,171	1,269
	0,154	1,140
Зависимость от высоты плоскости	0,212	1,567
	0,225	1,688
	0,238	1,789
	0,258	1,907
	0,295	2,197
	0,205	1,539

Этот график показывает, что результаты всех измерений прекрасно согласуются между собой. Коэффициенты этой зависимости, рассчитанные по МНК, оказались равными

Расчет показывает, что зависимость является прямо пропорциональной. Коэффициент пропорциональности равен

Отметим, что данный коэффициент отличен от . Это связано с тем, что в процессе движения шарик катается по наклонной плоскости. Теоретическое значение этого коэффициента