Энергия катящегося тела — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2018 10 класс № Э2

Часть 1. Теоретическая.

1.1

Запишем закон сохранения механической энергии при скатывании тела Здесь уменьшение высоты центра тела, при его смещении на расстояние вдоль наклонной плоскости. Возможно, что в начальный момент времени тело имеет некоторую начальную скорость .

Запишем также кинематическое соотношение, справедливое при равноускоренном движении Подставляя выражение в формулу (1), получим

1.2

Формула для определения коэффициента имеет вид Примечание. Формула для ускорения можно получить, если взять производную по времени от уравнения (1):

2.1

В наших экспериментах использовалась доска длиной $мм$ , один конец которой был приподнят на высоту $мм$ . Таким образом угол наклона (в радианах) равен Этот угол мал, поэтому даже в пределах погрешностей измерения можно считать, что ; .

В таблице 2 приведены результаты измерений времен прохождения участков пути длиной . Измерение проведены дважды, поэтому все приведенные ниже графики – двойные. Для участников достаточно провести одну серию измерений.

Таблица 1. Результаты измерений для трубки

, мм	, с	, с	,	,	,	,
0	0	0
50	0,79	0,71	63,29	70,42	0,62	0,50
100	1,38	1,26	72,46	79,37	1,90	1,59
150	1,87	1,73	80,21	86,71	3,50	2,99
200	2,34	2,18	85,47	91,74	5,48	4,75
250	2,77	2,56	90,25	97,66	7,67	6,55
300	3,16	2,93	94,94	102,39	9,99	8,58
350	3,54	3,27	98,87	107,03	12,53	10,69
400	3,91	3,63	102,30	110,19	15,29	13,18
450	4,24	3,94	106,13	114,21	17,98	15,52
500	4,49	4,21	111,36	118,76	20,16	17,72

Графики полученных зависимостей показаны на рисунке.

Внешне графики напоминаю параболы, однако этого «внешнего впечатления» недостаточно, чтобы сделать вывод о том, что движение является равноускоренным!

Так же по графику видно, что в начальный момент времени скорость трубки не равна нулю. Поэтому линеаризация вида в данном случае не подходит. Следующий (не нужный по условию график) подтверждает это утверждение.

Так как начальная координата равна нулю, то функцию, описывающую равноускоренное движение следует приводить к линейному виду посредством преобразования

Результаты расчетов этой зависимости также приведены в таблице 1. На рисунке показан график линеаризованной зависимости.

По наклону графика (коэффициент наклона $мм с$ ) определяем ускорение трубки

$мм с м с$

Наконец, по формуле (4) рассчитываем значение коэффициента

Основной вклад в погрешность вносит погрешность измерения ускорения, поэтому

Аналогично проводятся измерения характеристик движения цилиндра. Результаты измерений приведены в Таблице 2. Графики закона движения (непосредственный и линеаризованный) приведены на рисунках.

Таблица 2.

, мм	, с	,
0	0
100	0,74	135,14
200	1,35	148,15
300	1,79	167,60
400	2,23	179,37
500	2,68	186,57

По линеаризованной зависимости можно рассчитать требуемые численные значения параметров:

Значение коэффициента наклона графика $мм$ ,

Значение ускорения $мм м$ .

Коэффициент

3.1

Формула, позволяющая по двум измеренным временам прохождения двух отметок рассчитать ускорение тела, выводится путем цепочки алгебраических преобразований:

3.2

Для измерения зависимости ускорения от угла наклона на наклонной плоскости (общая длина 800 мм) были отмечены два равных участка. Координаты концов этих точек являлись , $м м$ , $м м$ . Затем измерялись времена прохождения отметок , причем секундомер запускался, когда трубка проходила нулевую отметку. Для каждого угла наклона измерения проводились три раза, для каждого из них было рассчитано значение ускорения, после чего вычислялось среднее значение ускорения.

Результаты измерений и расчетов приведены в таблице 3. Рядом показан график полученной зависимости.

Таблица 3.

, мм		$м м$	$м м$	$мм$	$мм$
12	15,00	3,31	4,75	41,30	41,50
		3,16	4,61	40,48
		2,51	3,88	42,72
16	20,00	2,17	3,25	71,55	73,42
		2,26	3,34	72,37
		2,17	3,22	76,33
22	27,50	1,72	2,51	136,34	133,91
		1,76	2,57	129,65
		1,68	2,47	135,75
27	33,75	1,45	2,12	189,36	175,13
		1,45	2,16	166,39
		1,39	2,09	169,65

График зависимости ускорения от угла наклона показан на рисунке.

Коэффициенты полученной линейной зависимости

Оказываются равными $м с$ , $мм с$

Наличие постоянного сдвига свидетельствует о заметном влиянии силы трения качения на движение цилиндра. Это частично объясняет явно завышенное значение коэффициентов , полученных в предыдущей части.

Если в уравнение (1) добавить работу силы трения

То это приведет к появлению слагаемого, обусловленного трением, в выражении для ускорения:

Из сравнения теоретической зависимости (14) с экспериментальной зависимостью (12) следует, что значение коэффициента по этим данным оказывается равным . Отметим, что теоретическое значение этого коэффициента для трубки $теор$ .

Существенные отклонения полученного результата может быть объяснено частичным проскальзыванием трубки при скатывании, что может быть особенно существенным, если трубка не совсем круглая и немного «подпрыгивает» при движении.

Следует подчеркнуть, что при движении с постоянным проскальзыванием коэффициент в формуле (12) должен быть равен ускорению свободного падения (независимо от )!

← Подсказки Режим тренировки →

Решение

Похожие задачи

Оригинал в архиве олимпиады