Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.
- Десять пружин (
) длиной см, массой г каждая и с коэффициентом жёсткости каждая, спаяны последовательно в цепочку. Растяжением каждой из пружин под действием собственного веса можно пренебречь. ( )
1.1. Определите длину
Какие силы действуют на звенья висящей цепочки и как величина нагрузки меняется от верхнего звена к нижнему?
Запиши условие равновесия для каждого звена, используя закон упругости (Hooke) для связи его удлинения с внешней силой; учти вес всех звеньев, находящихся ниже данного звена.
- Нумеруй звенья сверху вниз и обозначь удлинение i-го звена как
. - Для i-го звена выпиши уравнение равновесия вида: жёсткость одного звена умноженная на
равна суммарной массе нижних звеньев, умноженной на . - Просуммируй все
от первого до предпоследнего, воспользуйся формулой суммы первых целых чис — чтобы получить общую дополнительную деформацию ; затем подставь в и вырази из полученной системы.
Длина всей цепочки, подвешенной вертикально
1.2. Сколько таких пружин нужно последовательно спаять в цепочку, чтобы длина цепочки под действием собственного веса увеличилась в два раза?
- Пружина, которая может растягиваться под действием собственного веса, имеет массу
, длину , коэффициент жёсткости .
Поставь условие, при котором удлинение от веса равно исходной суммарной длине, то есть суммарная длина удваивается.
Используй формулу для суммарного удлинения цепочки, полученную в предыдущем пункте, и реши уравнение на неизвестное число звеньев
- Запиши условие удвоения длины:
. - Подставь выражение
из п.1.1 в это условие. - Сократив тривиальные множители, получи алгебраическое уравнение для
. - Вырази
из полученного уравнения.
Согласно условию
Откуда
2.1. Определите деформацию пружины
Выберем снизу пружины участок длиной
Деформацию первого сверху участка длиной
Учитывая (13) и (15), уравнение (14) примет вид:
Учитывая, что
Откуда
Деформация второго сверху участка находится аналогично:
Для
Учитывая, что
получим
При
2.2. При каком коэффициенте жёсткости пружины
- Пружина, которая может растягиваться под действием собственного веса, массой
, длиной , и коэффициентом жёсткости , лежит на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между пружиной и поверхностью . К одному из краёв пружины прикладывают силу .
Так как по условию задачи
Откуда
3.1. Определите установившуюся деформацию пружины
Представь движущуюся по поверхности пружину как последовательность маленьких участков и обрати внимание, что внешняя сила компенсирует суммарную силу трения.
Для каждого участка используй второй закон Ньютона в установившемся равномерном движении (сумма сил равна нулю) и закон Гука для связи локальной упругой силы с локальным удлинением; учти, что трение пропорционально массе участка.
- Разбей пружину на
участков длиной и вырази жёсткость одного участка через и . - Для i‑го участка, считая от свободного конца, запиши уравнение равновесия: упругая сила участка уравновешивает суммарную силу трения на всех участках слева от него.
- Вырази каждое
через и соответствующий номер участка, затем просуммируй по всем деформируемым участкам. - Возьми предел
и вырази суммарную деформацию .
При равномерном движении пружины по горизонтальной поверхности внешняя сила
Выберем возле свободного конца пружины участок длиной
Для
Для
Для
3.2. Определите деформацию пружины
Рассуждая аналогично п.3.1., из второго закона Ньютона для -ой части пружины,
При
3.3. При каком значении силы
Так как по условию задачи
Откуда
Из второго закона Ньютона, записанного для всей пружины, получим:
Подставляя (50) в (51), получим:
Похожие задачи
Гук против Архимеда!
Часть 1. Вспомним закон Гука.
Пусть длина нерастянутой пружины равна
Неоднозначность и как с ней бороться!
Часть 1. «Бревно»
У Р Б П ≈5/5 Т2
Муфтавар. 1
На горизонтальный стержень насажена муфта массы
Деформация изгиба
Приборы и оборудование: Пружинка от шариковой ручки, две палочки от шашлыка длиной 20 см, штатив с лапкой, секундомер, транспортир, нить с грузом. …
У Р Б П ≈5/5 Т3
Выпад против Эйнштейна?
Если Вы находитесь в закрытой кабине лифта, то согласно принципу относительности Г.Галилей, никакими способами не сможете определить, покоится лифт …
У Р Б П ≈5/5 Т2
Застой
- «Застой». Хорошо известно, что для большинства трущихся поверхностей коэффициент трения покоя превышает коэффициент трения скольжения. Увеличение …