Выделим тонкое кольцо протекающей воды толщиной . Мощность теплоты, выделяемой в этом кольце при прохождении тока, определяется законом Джоуля-Ленца

где - электрическое сопротивление слоя воды, которое можно рассчитать по формуле

Учитывая, что электрический ток идет перпендикулярно тонкому слою воды, в данном случае

За время протекания воды через нагреватель она получит количество теплоты

Этого количества теплоты должно быть достаточно, чтобы нагреть слой воды на градусов. Для этого требуется теплота

здесь - объем выделенного слоя воды, - плотность воды. Приравнивая два последних выражения, получаем формулы для вычисления скорости

Схема оценивания.

11 класс. Решения задач.

Задача 1.

1.1 При изменении магнитного поля, вследствие явления электромагнитной индукции, появляется электрическое поле, с которым взаимодействуют заряды кольца. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для кольца

где - среднее значение тангенциальной составляющей вихревого электрического поля.

Примечание. Уравнение (1) можно получить и без использования «готового» уравнения динамики вращательного движения - на основании рассмотрения динамики движения отдельных малых элементов кольца.

По закону электромагнитной индукции, ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока, поэтому справедливо соотношение

из которого следует

После подстановки выражения (3) в уравнение (1) и сокращения на , получаем требуемое соотношение для модуля изменения угловой скорости

1.2 Сила тока отдельного кольца может быть вычислена по определению

где - период обращения. Сила тока двух колец равна сумме токов отдельных колец, поэтому (учитывая, что их скорости , где - угловые скорости до включения магнитного поля)

Направление тока легко определить по правилу Ленца - он создает поле, противоположное внешнему полю.

1.3 Магнитный момент отдельного атома определяется по формуле

а магнитный момент единицы объема

1.4 Обозначим высоту цилиндра , а его радиус , тогда его магнитный момент может быть записан в двух формах

приравнивая которые получим

Магнитное поле, созданное этим полем можно вычислить используя формулу для индукции поля внутри соленоида , в которой произведение силы тока на плотность намотки является линейной плотностью токов, поэтому

1.5 Так как поле направлено противоположно внешнему полю , то поле внутри магнетика будет равно

Сравнивая это выражение с формулой приведенной в условии, получим выражение для магнитной проницаемости

1.6 Для проведения численных расчетов необходимо выразить значение концентрации атомов через известные постоянные , где — масса атома меди. Окончательное выражение для магнитной проницаемости принимает вид

Заметим, что табличное значение рассчитанной величины для меди равно , что отличается всего в два раза.

Схема оценивания.

Задача 2.

Рассмотрим зависимость моментов сил, действующих на стержень, от угла его отклонения от вертикали . (Понятно, что из-за симметрии задачи достаточно рассмотреть один стержень). Для опрокидывания стержня необходимо, чтобы момент силы тяжести превышал момент силы упругости при любом положении стержня. Таким образом, неравенство должно выполняться при любом значении угла в диапазоне от до . Так как в этом диапазоне , то неравенство (3) можно переписать в виде где обозначено . Найдем максимум функции Вычисляя производную и приравнивая ее к нулю, получаем значение угла , при котором функция (5) принимает максимальное значение Найдем косинус этого угла и подставим в неравенство (4) Итак, окончательный ответ задачи имеет вид: стержни опрокинутся при Комментарии к задаче.

1. Представим графически зависимости моментов сил (1),(2) от угла . На

рисунок показан предельный случай, соответствующий найденному решению задачи. График построен при . Отрицательные значения момента силы упругости в области малых углов соответствуют сжатию резинки.

2. Покажем также график исследованной функции , показывающий, что найденное значение действительно соответствует точке максимума.

3. Возможно также решение данной задачи на основании анализа зависимости потенциальной энергии системы от угла отклонения при различных значениях масс грузов

Если потенциальная кривая имеет минимум в диапазоне , то стержни могут оставаться в положении равновесия выше горизонтали, при исчезновении этого минимума система такого положения равновесия не имеет.

Рисунок показывает изменение зависимости потенциальной энергии от угла при возрастании увеличении массы грузов (в порядке возрастания номеров кривых), который и демонстрирует этот эффект - так на кривой 4, соответствующей найденному граничному значению массы), минимум отсутствует.

Схема оценивания.

Задача 3

Легко заметить, что , - количество теплоты, полученное газом при изменении температуры на величину . Следовательно площадь, под графиком зависимости численно равна количеству полученной теплоты. На участках и и , поэтому на этих участках газ получает теплоту от нагревателя . Следовательно, количество полученной газом теплоты равно

Подстановка численных значений приводит к результату

На участке , но , поэтому на этом участке газ отдает теплоту холодильнику . Количество отданной теплоты равно

По завершении всего процесса температура газа принимает первоначальное значение, поэтому изменение внутренней энергии равно нулю, следовательно, разность полученной и отданной теплоты равна работе совершенной газом

По определению КПД данного процесса равен

Максимальная температура газа в точке 3, а минимальная в точке 1, поэтому по теореме Карно максимальный КПД цикла, работающего в данном диапазоне температур равен (температуры должны быть переведены в абсолютную шкалу)

Итак, КПД цикла Карно, при тех же предельных температурах, оказался меньше, чем в рассматриваемом процессе. Разрешения парадокса в том, что рассмотренный процесс не является циклическим, так теплоемкость не является функцией состояния. А теорема Карно справедлива для циклических процессов, поэтому в данном случае она не применима.

Примечание к задаче. Используя уравнение первого начала термодинамики, можно получить уравнения, описывающие данный процесс в терминах параметров состояния. Так на рисунке показан этот процесс в координатах - «объем-температура»)

Как видно, процесс, действительно не является циклическим (система не возвращается в исходное состояние). Заметьте, что участок является изохорическим процессом.

Схема оценивания.