Для определения центра масс неоднородного стержня рассмотрим однородную трапецию с

длинами оснований численно равными и и высотой . Если мы выделим малый участок (полоску) шириной , то масса этой полоски будет равна (точнее, пропорциональна) массе такого же отрезка рассматриваемого неоднородного стержня. Поэтому координаты центров масс стержня и трапециевидной пластинки будут одинаковы. Рассчитать координату центра масс пластинки можно традиционным способом. Разобьем трапецию на прямоугольник и треугольник. Масса прямоугольника равна , координата его центра масс . Масса треугольника , координата его центра масс . Тогда координата центра масс трапеции задается формулой

Задача 1.2

На рисунке показана зависимость удельного сопротивления стержня от координаты . Эта зависимость описывается функцией: Понятно, что площадь под графиком этой зависимости пропорциональна электрическому сопротивлению участка стержня. Поэтому сопротивление участка стержня от нуля до некоторой точки с координатой будет равно: Где - постоянная площадь поперечного сечения стержня. Сопротивление всего стержня равно Поэтому сила тока, протекающего по стержню равна Следовательно, искомое напряжение будет описываться формулой:

Задача 1.3

Построим график зависимости удельной теплоемкости стержня от координаты.

Площадь под этим графиком в интервале температур пропорциональна количеству теплоты, которое требуется, что бы нагреть брусок на величину в том же диапазоне температур. Так как теплообмен между брусками происходит без потерь, то для нахождения установившейся температуры необходимо трапецию меду значениями и разбить на две равновеликие части. Легко заметить, что площадь треугольника под данным графиком в диапазоне от нуля до произвольного значения пропорциональна . Это позволяет сразу найти значение , разбивающее трапецию на две части равных площадей: