При ударе на камень действуют три силы: тяжести , нормальной реакции и трения . Сила трения в данном случае является силой трения скольжения и определяется по закону Кулона-Амонтона: . На основании второго закона Ньютона для процесса соударения можем записать следующую систему:

Учитывая упругость удара и пренебрегая импульсом силы тяжести перепишем (1) в виде где – скорость тела после удара. Избавляясь от , получим . Теперь не составляет труда найти модуль конечной скорости и угол : Отметим, что при шарик отскочит вертикально () с конечной скоростью .

Проекция результирующей силы на ось Z, действующей на камень, определяется соотношением Воспользуемся приближениями, указанными в условии задачи. Поскольку скорость камня меняется незначительно, в (4) заменим на . Для удобства введём обозначение

. Площадь поверхности камня, соприкасающаяся с водой, с учётом указанного в условии приближения, определяется уравнением

С учётом указанных замечаний перепишем (4) в виде (6):

Воспользовавшись вторым законом Ньютона, получим

Раскрыв модуль () и разделив уравнение (7) на массу камня, получим уравнение движения

Проекция результирующей силы на ось X, действующей на камень, определяется соотношением

Сделав пренебрежения, аналогичные п. 2.1 и введя обозначение , пользуясь формулой (5) получим

Сравнивая проекции сил сопротивления воды в (7) и (10), получим . Таким образом

Перепишем уравнение (8) в виде

где . Очевидно (11) – уравнение гармонических колебаний с циклической частотой , при этом положение равновесия смещено относительно . Будем искать решение уравнения (11) в виде (12):

где имеет смысл координаты положения равновесия, а – амплитуды колебаний. Первая и вторая производные по времени от (12) имеют смысл вертикальных компонент скорости и ускорения камня соответственно:

Подставим в виде (12) в уравнение (11): откуда .

Для нахождения амплитуды и начальной фазы колебаний воспользуемся начальными условиями: , :

откуда

Окончательно

Время соударения является корнем уравнения . Одним из корней данного уравнения является начальный момент времени , при котором фаза колебаний равна начальной фазе . Ясно, что и в момент времени косинус в выражении (14) будет принимать то же значение, что и в начальный момент. Тогда фаза колебаний в момент времени равна :

Из последнего уравнения находим выражение для времени соударения:

Для указанных в условии параметров , . Близость начальной фазе к позволяет нам утверждать, что и движение камня в воде происходит приблизительно половину периода колебаний, т.е.

Расстояние с учётом малого изменения скорости камня находится как

Проекция результирующей силы на ось X, действующей на камень, определяется соотношением (10). Подставляя сюда зависимость из (12), получим

Заметим, что для указанных параметров и , поэтому

Тогда уравнение движения камня вдоль оси X с учётом выражения для имеет вид

Для вычисления средней силы воспользуемся подсказкой в условии:

Камень может не отскочить от воды по двум причинам: в процессе соударения камень полностью опустится под воду, после чего наша модель перестаёт адекватно описывать процесс соударения. Камень при этом утонет. Вторая причина — полная потеря горизонтальной компоненты импульса в процессе удара. Запишем данные условия в виде уравнений:

Для параметров, приведенных в условии , , , . Таким образом, оба условия выполняются и камень отскакивает от воды.

Горизонтальную компоненту скорости после определяется как

Поскольку вертикальная компонента скорости не меняется по модулю, нетрудно найти конечную скорость и угол отскока :

Вычислим коэффициент из п. 2.2. и подставим в формулу (3), определяющую конечную скорость и угол отскока тела от твёрдой поверхности:

Сравнивая значения (21) и (22) можно заключить, что в данной модели вода действительно ведёт себя как твёрдое тело.