Запишем уравнения, описывающие движение электромобиля в установившемся режиме.

Первое. При движении с постоянной скоростью сила тяги, развиваемая двигателем, точно уравновешивает силу сопротивления воздуха, поэтому

Второе. Так как при работе двигателя в его обмотке возникает неизвестная (или трудно рассчитываемая) ЭДС самоиндукции, то использовать закон Ома для определения силы тока в цепи невозможно. Поэтому вместо этого закона следует воспользоваться законом сохранения энергии: энергия, выдаваемая источником тока , расходуется на теплоту, выделяющейся на резисторе и на работу по преодолению сил сопротивления , следовательно:

Для того, чтобы получить систему уравнений в «безразмерном» виде, переписшем уравнения (1) – (2) для двух крайних случаев, описанных в условии задачи. При застопоренном двигателе скорость автомобиля равна нулю. В этом случае сила тока будет минимальна при максимальном сопротивлении резистора. Поэтому

Скорость электромобиля будет максимальна при нулевом сопротивлении резистора, в этом случае

Выразим значения сопротивления резистора, скорости электромобиля и силы тока в цепи через указанные в условии безразмерные параметры:

и подставим их в исходные уравнения. Тогда из уравнения (1) следует

Тогда с учетом (4), получим

Подстановка (5) в уравнение (2) дает

При учете соотношения (4), получаем окончательно

Таким образом, уравнения (7) и (8) образуют искомую систему для расчета требуемых зависимостей.

Найти решение полученной системы довольно просто. Подставим значение из уравнения (7) в уравнение (8):

После сокращения, получаем квадратное уравнение

Положительный корень, которого равен:

Заметим, что при .

Зависимость следует из уравнения (7):

В данном случае под КПД следует понимать отношение мощности двигателя к мощности, развиваемой источником тока, поэтому

Необходимые расчеты по полученным формулам приведены в таблице, по которой построены требуемые графики.

При появлении постоянной силы трения качения исходные уравнения преобразуются следующим очевидным образом: Учитывая, что по условию , и проведя аналогичный переход к безразмерным уравнениям, получим следующую систему уравнений Когда электромобиль только начинает двигаться, его скорость еще равна нулю, поэтому и . Тогда из системы уравнений (16) легко найти: Найденное значение больше максимального значения сопротивления резистора. Поэтому электромобиль сдвинется при любом возможном значении сопротивления резистора.

Как и ранее, максимальная скорость автомобиля будет достигаться при нулевом сопротивлении переменного резистора, т.е. при . В этом случае система (16) преобразуется к виду То есть максимальная скорость движения электромобиля при появлении силы трения качения не изменится.