При выполнении условия шарик не будет ударятся о крышку сосуда. В момент каждого удара о дно сосуда он будет передавать дну импульс

При равноускоренном движении в поле тяжести земли зависимость вертикальной координаты шарика имеет вид

Поэтому время между двумя последовательными ударами можно легко найти из выражения (2), полагая . Тогда время между ударами оказывается равным А средняя сила давления шарика на дно сосуда равна (как ни странно!?):

Если скорость шарика у дна , то он будет ударяться и о верхнюю крышку сосуда. Скорость шарика при ударе о крышку рассчитывается по формуле Так как движение шарика между ударами является равноускоренным, то время подъема шарика и равное ему время падения оказывается равным Тогда средняя сила давления шарика на дно равна Сила давления на крышку рассчитывается аналогично: Разность этих сил опять равна

Средняя квадратичная скорость молекул рассчитывается по известной формуле Так как все направления в пространстве равноправны, то Кроме того, Поэтому

При ударе молекулы о поршень изменяется только та проекция вектора скорости, которая перпендикулярна плоскости поршня. Поэтому направим ось перпендикулярно поршню, вдоль оси сосуда. Рассмотрим молекулу, которая налетает на поршень, имея компоненту скорости, перпендикулярную пластине . Если скорость поршня равна и направлена

навстречу налетающей молекуле, то после абсолютно упругого удара проекция скорости молекулы станет равной Это соотношение легко доказать, рассматривая упругий удар в системе отсчета, связанной с поршнем, а затем вернувшись в систему отсчета, связанную с сосудом. Изменение проекции импульса молекулы при ударе равно ( - масса одной молекулы)

Такой же по модулю, но противоположно направленный импульс получит поршень. Предположим, что у всех молекул модуль проекции скорости на ось равна . Тогда за малый промежуток времени до поршня долетят те молекулы, которые находятся на расстоянии меньшем, чем . Число этих молекул равно Здесь - концентрация молекул, также учтено, что в направлении стенки летят половина молекул. Эти молекулы предадут стенке импульс, равный Теперь можно провести усреднение по скоростям молекул: В соответствии с общим подходом, средняя сила, действующая на поршень с одной стороны, равна Понятно, что для вычисления силы, действующей на вторую сторону поршня достаточно в формуле (18) заменить знак скорости : Разность этих сил и есть сила, действующая на поршень со стороны газа: Осталось выразить величины, входящие в эту формулу, через величины, заданные в условии задачи: В итоге получаем:

Используя формулу (13), найдем изменение кинетической энергии молекулы при ударе (слагаемое пропорциональное можно опустить):

Тогда за малый промежуток времени изменение энергии всего газа равно (усреднение проводим сразу):

Это же изменение энергии можно выразить через изменение абсолютной температуры газа:

Приравнивая эти выражения, находим изменение температуры газа: