Выделим на стержне маленький участок , который виден из точки под малым углом и находится на расстоянии от точки , а также на угловом расстоянии от отрезка (см. рис.) С учетом того, что угол также равен можем записать откуда следует, что Поскольку стержень заряжен равномерно, то на участке стержня находится заряд , который, согласно закону Кулона, создаёт в точке напряжённость , равную по модулю Поскольку для разных участков стержня величины и постоянны, то из (3) следует неожиданный вывод, что не зависит ни от , ни от , а определяется только малым углом , под которым данный малый отрезок виден из точки . Соответственно, из (3) найдем искомое значение коэффициента пропорциональности

Рассмотрим два симметричных (по углу ) относительно биссектрисы малых участка стержня и , имеющих одинаковую угловую ширину . Согласно (3), векторы напряжённостей и , создаваемые ими, равны по модулю и симметричны относительно биссектрисы угла. Следовательно, их сумма ориентирована вдоль биссектрисы угла. Заметим, что длины (и заряды!) отрезков и различны, но согласно (2) большему отрезку соответствует большее расстояние, что и приводит к равенству модулей соответствующих напряжённостей. Разбивая стержень на подобные пары и суммируя их напряжённости, приходим к выводу, что напряжённость электростатического поля всего стержня также направлена вдоль биссектрисы угла .

Для вычисления нормального компонента напряжённости электростатического поля всего стержня рассмотрим малый элемент стержня длиной (Рис.), находящийся на расстоянии от точки наблюдения. Пусть нормальный компонент поля этого

элемента равен . Тогда искомая величина будет представлена суммой Однако, с учётом (3), сумма значительно упрощается. Действительно, при таком подходе имеем сумма , входящая в выражение (6), представляет собой площадь под

графиком функции . И, согласно математической подсказке в условии, равна . Заметим, что геометрический смысл этой суммы – сумма проекций хорд на диаметр окружности. Это замечание вполне позволяет получить математическую подсказку в условии самостоятельно. Таким образом, часть заряженного стержня, соответствующая углу в условии, создает нормальную напряженность , а вторая часть стержня – точно такую же. Естественно, что вектор ориентирован перпендикулярно стержню в направлении «от него». Если бы заряд стержня был отрицателен, то направление было бы «к нему».

Для перехода к полю бесконечного тонкого равномерно заряженного стержня в формуле (7) следует положить . При этом получаем, что напряженность электростатического поля бесконечного стержня на расстоянии от него равна по модулю и направлена перпендикулярно стержню.