Намагниченный гвоздь

Условие

Республиканская олимпиада 2013 11 класс № Э1

Приборы и материалы: датчик Холла с выводами проводов, мультиметр, две батарейки 4,5 В, ключ электрический, реостат 15 Ом, соединительные провода, амперметр школьный на 2 А, соленоид с известными параметрами, кусок гвоздя длиной 5,5 см и диаметром примерно 4 мм, пластилин для изготовления держателей.

Для измерения индукции магнитного поля широко используются датчики Холла. Принцип работы этих приборов основан на эффекте, открытом американским физиком Эдвином Холлом в 1879 г и названным его именем.

Кратко поясним суть этого эффекта. Пусть прямоугольная проводящая пластинка находится в магнитном поле.

При пропускании электрического тока вдоль пластинки на движущиеся заряды будет действовать сила Лоренца, обусловленной нормальной составляющей вектора индукции . Эта сила приведет к смещению траекторий частиц к торцам пластинки и возникновению на них поверхностных электрических зарядов . В стационарном режиме электрической поле, созданное этими зарядами будет компенсировать действие силы Лоренца. Таким образом, между торцами пластинки возникнет ЭДС Холла. Величина этой ЭДС (которую будем называть выходным напряжением, и обозначать $в ы х$ ) пропорциональна силе тока в пластинке и нормальной составляющей индукции магнитного поля. При изменении направления вектора индукции изменяется знак выходного напряжения. Коэффициент пропорциональности зависит от свойств пластинки – материала и геометрических размеров. Если силу тока в пластинке поддерживать постоянной, то выходное напряжение $в ы х$ оказывается пропорциональным нормальной составляющей вектора индукции магнитного поля.

Предоставленный вам датчик Холла представляет собой именно такую пластинку размером приблизительно $мм мм$ с четырьмя цветными выводами, прикрепленными к торцам пластинки: красный и желтый для создания тока в датчике (их следует подключать к батарее питания – следите за полярностью подключения!); два желтых для измерения выходного напряжения (их следует подключать к мультиметру). Мультиметр должен работать в режиме измерения напряжения в диапазоне 200 мВ.

Датчик Холла подготовлен для градуировки и проведения измерений в картонной упаковке (на самом краю картонки темная маленькая пластинка, обжатая скотчем – это и есть датчик Холла).

Даже в отсутствии внешнего магнитного поля при подключении источника питания к датчику, милливольтметр фиксирует некоторое фоновое напряжение , которое несколько меняется при различной ориентации датчика. Это фоновое напряжение (от десятых долей милливольт до нескольких милливольт) обусловлено технологическими особенностями изготовления датчиков. Расположение вблизи металлических предметов (например, штатива), влияние магнитного поля Земли изменяет значение «фонового напряжения», так как появляется внешнее магнитное поле.

Представьте, что у линейки нет четкого начала отсчета, да к тому же это начало смещается то в сторону увеличения, то в сторону уменьшения! Вот такой чудесный (без нуля) и очень чувствительный измерительный прибор в ваших руках…

Картонную пластинку с датчиком Холла закрепите вертикально на столе на куске пластилина и не смещайте его во время выполнения всех заданий. Подносите приборы к датчику, а не датчик к приборам! Держите подальше от датчика все железные (ключи, ручки ...) и никелевые (например, монеты) предметы. Соберите электрическую цепь датчика: источник питания и мультиметр. Постарайтесь не смещать датчик и измерительную цепь.

Часть 1. Положения равновесия.

1.1 Теоретический. Предположим, что момент сил упругости двойного резинового шнура пропорционален углу закручивания (закон Гука) где - коэффициент кручения. Заметим, что углы измеряются в радианах (то есть, безразмерны), если моменты сил измеряются в единицах , то коэффициент также является безразмерным.

Запишите уравнение, позволяющее найти все возможные положения равновесия линейки (при произвольном числе оборотов закручивания ). Дайте графическую иллюстрацию возможных решений этого уравнения. Укажите, какие из этих значений могут быть реализованы в эксперименте. Оцените максимальное число возможных положений равновесия (при известных параметрах ).

1.2 Проведите измерения зависимости ЭДС Холла ( $в ы х$ ) от индукции магнитного поля на торце соленоида .

Не забудьте измерить и учесть фоновое напряжение .

1.3 Постройте график зависимости⁶ индукции поля от выходного напряжения $в ы х$ .

1.4 Обоснуйте, можно ли считать полученную зависимость прямо пропорциональной. Рассчитайте постоянную (чувствительность) вашего датчика $в ы х мТл мВ$ В дальнейшем считайте эту величину неизменной и используйте ее для расчета индукции магнитного поля.

1.3.1 Используя полученные экспериментальные данные, постройте графики зависимости момента сил упругости двойного шнура от угла закручивания для мм.

1.3.2 Проверьте применимость закона Гука (1) для двойного резинового шнура. При необходимости измените приведенную формулу. Определите коэффициент кручения шнура (не забудьте о погрешностях). Не стремитесь точно описать полученную зависимость – выделите линейный участок и работайте с ним!

1.3.3 Проверьте справедливость полученной вами оценки для числа возможных положений равновесия. Укажите причины возможных расхождений расчетного и измеренного числа возможных положений равновесия. Дайте улучшенную формулу этой оценки.

Часть 2. Колебания.

Если линейку вывести из положения равновесия, то она начнет колебаться. Сейчас вам необходимо исследовать эти колебания. Все измерения проводите при мм и для . В этой части рассчитывать погрешности не требуется!

2.1 Исследуйте зависимость индукции магнитного поля , создаваемого гвоздем, от индукции магнитного поля , создаваемого соленоидом.

Не забудьте измерить и учесть фоновое напряжение $ф$ .

Понятно, что непосредственно можно измерить только индукцию суммарного поля . Но индукцию магнитного поля соленоида вы можете рассчитать. Измерение рекомендуем проводить в следующей последовательности. . Установите ток через соленоид +1 А и уменьшайте ток до нуля, затем поменяйте направление тока и изменяйте его от нуля до –1 А, снова изменяйте значение силы тока от –1 А до нуля и, наконец, поменяв направление тока, увеличивайте его от нуля до +1 А. Рекомендуемый шаг изменения силы тока А.

2.2 Постройте график полученной зависимости.

2.3 Используя полученный график, оцените: $ост$ . - индукцию остаточного поля гвоздя при полном отключении внешнего поля; $к$ - коэрцитивную силу – значение индукции внешнего поля, которое полностью размагничивает гвоздь.

2.1.1 Покажите, что периоды колебаний возле разных положений равновесия описываются формулой

Не тратьте много времени на вывод этой формулы, если не получается быстро, то переходите к измерениям!

2..1.2 Укажите физический смысл параметра (получать явное выражение для него не нужно).

2.1.3 Получите аналитическое выражение для параметра .

2.2.1 Проведите измерения периодов малых колебаний при различных значениях числа оборотов закручивания шнура.

2.2.2 Постройте график полученной зависимости.

2.3.1 Проанализируйте применимость формулы (2).

2.3.2 Определите значения параметров и в формуле (2).

Часть 3. Магнитное поле внутри гвоздя.

Далее Вам необходимо исследовать магнитное поле, создаваемое намагниченным гвоздем. Для намагничивания поместите гвоздь симметрично внутрь соленоида. Пропустите через соленоид ток силой в 1 А в течение 5 секунд, после чего отключите ток. Повторите эту процедуру 5 раз.

Поместить датчик Холла внутрь железного гвоздя затруднительно, но с его помощью можно измерить поле вблизи поверхности соленоида.

Для повышения точности измерения датчик должен быть неподвижным. Поэтому намагниченный гвоздь с помощью кусочка пластилина закрепите на полоске миллиметровой бумаги, которую можно использовать как шкалу для измерения расстояний. Перемещайте гвоздь относительно неподвижного датчика.

Вам в помощь – теоретическая подсказка! Совместим ось с осью цилиндра (Ваш обрезок гвоздя таковым и является), начало отсчета совместим с левым торцом цилиндра. Будем считать, что нам известны значения нормальных составляющих индукции магнитного поля у наружной поверхности цилиндра: на основаниях это и . Будем считать, что эти величины постоянны на всем торце. У боковой поверхности цилиндра нормальная составляющая поля является функцией координаты. Отметим, что при переходе через границу магнетиков нормальная составляющая индукции поля не изменяется. Магнитное поле является вихревым, поэтому магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю (теорема о магнитном потоке).

3.1 Рассмотрим часть цилиндра от его левого торца до нормального к оси сечения, находящегося на расстоянии от него. Запишите выражение для магнитного потока через поверхность этой части цилиндра. Запишите выражение для магнитного потока через сечение цилиндра, перпендикулярное его оси и находящееся на расстоянии от левого торца. Используя эту функцию, запишите выражение для индукции магнитного поля на оси цилиндра, в точке с координатой

3.2 Проведите измерения нормальной составляющей вектора индукции магнитного поля у поверхности гвоздя. Значения измерьте с двух сторон гвоздя. Достаточно провести измерения с шагом см. Измерьте также индукцию поля у торцов гвоздя. Не забудьте измерить и учесть фоновое напряжение $ф$ !

Для удобства рекомендуем данные занести в следующую таблицу (в которой клетки указывают положение датчика относительно гвоздя Индукция поля у поверхности гвоздя.

	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5

3.3 Постройте график зависимости радиальной составляющей поля от координаты . Используйте среднее значение индукции с двух сторон гвоздя.

3.4 Для проверки теоремы о магнитном потоке рассчитайте магнитный поток через сечение цилиндра как функцию . Найдите магнитный поток через правый торец гвоздя. Сравните полученное значение с магнитным потоком, рассчитанным по измеренному значению .

3.5 Постройте график зависимости индукции магнитного поля внутри цилиндра на его оси . Предложите простую функцию, описывающую полученную зависимость (укажите вид этой функции, ее параметры рассчитывать не нужно).

3.6 Нарисуй схематическую картину силовых линий индукции магнитного поля вблизи поверхности цилиндра.

Часть 4. Магнитное поле вне гвоздя.

4.1 Измерь зависимость индукции магнитного поля намагниченного гвоздя на его оси как функцию расстояния до его края.

4.2 Построй график полученной зависимости. Дай его качественное объяснение – т.е. укажи, как эта зависимость может быть рассчитана на основании предыдущих измерений. 3

Задача 11-2 Упругий маятник.

Приборы и материалы: двойной резиновый шнур, на подставке (в качестве которой используются ножки стула) линейка деревянная 40 см, линейка измерительная 40 см, секундомер.

Натяни двойной резиновый шнур между ногами перевернутого стула. Между шнурами ровно посредине помести деревянную линейку. Если закрутить шнур, вращая линейку, то силы трения смогут удержать линейку в подвешенном состоянии, под некоторым углом к вертикали.

Для единообразия введём следующие обозначения: - ось вращения линейки (совпадает с местом крепления между резиновыми шнурами); - центр масс линейки; - угол закручивания резинового шнура (угол поворота линейки, для определенности всегда будем отсчитывать от вертикали по часовой стрелке), может составлять несколько оборотов (более 10); - число полных оборотов закручивания шнура - угол отклонения линейки от вертикали (меньше, чем ), отсчитывается против часовой стрелки; очевидно, что ; - расстояние от конца линейки до её центра масс (следовательно, длина линейки - ); - расстояние от конца линейки до оси вращения; - высота оси вращения (резинового шнура) над поверхностью стола (или любого другого нулевого уровня); - высота нижнего конца линейки над поверхностью стола. Условимся считать единицей измерения моментов сил величину . То есть все моменты сил (в системе СИ) следует делить на эту величину.

Примечания

6. , ! КонечносточкизренияфизикивыходноенапряжениезависитотиндукцииполяНовоспримитезадания в математическом смысле: постройте обратную функцию. ↩
7. , , ( ) – Точнеемагнитногополясоздаваемогонамагниченностьюилитокаминамагниченияматериалагвоздя но… сэкономим место! ↩
3. , Очевидночтокаждомуположительномукорнюэтогоуравнениясоответствуетравныйемупомодулю отрицательный корень. Физический смысл этого – можно закручивать в обе стороны, от этого ничего не изменяется! 4 ! Аположениелинейкиблизкокгоризонтальному ↩
6. Конечно, с точки зрения физики выходное напряжение зависит от индукции поля! Но воспримите задания в математическом смысле: постройте обратную функцию. ↩
7. Точнее, магнитного поля, создаваемого намагниченностью (или токами намагничения) материала гвоздя – но… сэкономим место! ↩

Нужна подсказка? →

Условие

Примечания

Похожие задачи

Оригинал в архиве олимпиады