5. Из графика зависимости угла поворота кольца от времени видим, что центр кольца совершает затухающие колебания.

Найдем положения равновесия кольца, в котором сумма сил, действующих на кольцо равна нулю. Это условие имеет вид Учитывая, что , находим положение равновесия кольца , или . Из графика закона движения находим , .

Рассмотрим теперь движение кольца на вертикальном стержне. Для того чтобы кольцо вращалось на постоянной высоте, необходимо, чтобы оно вращалось на стержне без проскальзывания - только в этом случае сила трения будет направлена вертикально вверх и сможет уравновесить силу тяжести.

Центр кольца в такой ситуации движется по окружности радиуса , поэтому сила нормальной реакции где - скорость центра кольца. Сила трения (которая в данном случае является силой трения покоя), может принимать значения Если кольцо остается на неизменной высоте, то выполняется условие Из выражений (2)-(3) находим , а скорость крайней (по отношению к стержню)

точки кольца, может быть найдена из простых геометрических построений, учитывающих, что кольцо вращается относительно оси стержня:

Таким образом, окончательный ответ данной задачи определяется по формуле