Охлаждение малыми порциями — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2026 9 класс № Э1

В данной задаче Вам предстоит исследовать зависимость температуры тёплой воды от количества добавленных в неё порций холодной воды.

Оборудование. Для каждого учащегося: калориметр с крышкой и мешалкой (без спирального нагревателя), термометр электронный, шприц (60мл), кружка с водой комнатной температуры (воды л). На кабинет: шприц (60мл или 100мл, шт, для набора тёплой воды), ёмкость с тёплой водой (температура С, объём воды – л на одного учащегося), термометр электронный (1шт, для контроля температуры тёплой воды), весы электронные (2 шт. с отсчётом до г), часы настенные с секундной стрелкой или электронные с секундным отсчётом. Справочные данные: плотность воды $в г см$ , удельная теплоёмкость воды $в кДж кг С$ , Подсказки. 1)Теплоёмкость тела можно определить как произведение массы тела на его удельную теплоёмкость. 2) Теплоёмкость системы тел равна сумме теплоёмкостей тел, входящих в данную систему.

1.1

После добавления в калориметр тёплой воды, внутренний стакан очень быстро нагревается и в дальнейшем теплообмене с холодной водой он отдаёт теплоту. Отдаёт теплоту конечно же и сама тёплая вода. Получает теплоту порция холодной воды.

Не обязательное дополнение. Нагреваться и отдавать теплоту будут так же мешалочка и стержень термометра, теплоёмкости которых мы не учитываем. Теплоёмкости этих тел фактически войдут в теплоёмкость внутреннего стакана калориметра.

1.2

$пол отд$

Так как установившаяся температура воды в калориметре не зависит от того, добавили порций холодной воды сразу или добавляли по одной порции, то

$пол$

$отд к$

Приравнивая правые части (3) и (4), получаем:

$к$

1.3

Раскрывая в (5) скобки, и после других несложных преобразований получим:

$к к$

2.1

$возд$ , .

2.2

$мл$ .

2.3

$мл$ .

Таблица 1. Зависимость

	, °C
1,0	52,0
2,0	49,1
3,0	46,7
4,0	44,4
5,0	42,8
6,0	41,4
7,0	40,0
8,0	39,0
9,0	38,1
10,0	37,2
11,0	36,4

График 1. Зависимость

2.4

Отнимем от обеих частей уравнения (6) , получим:

$к к$

$к к к$

$к к$

Перейдём в уравнении (9) к обратным величинам, получим:

$к к$

$к$

Сравнивая (11) с уравнением (1), видим, что

$к$

2.5

Вычислим значение .

Таблица 2. Зависимость


	1,0	0,0329
	2,0	0,0364
	3,0	0,0398
	4,0	0,0439
	5,0	0,0472
	6,0	0,0505
	7,0	0,0543
	8,0	0,0575
	9,0	0,0606
	10,0	0,0641
	11,0	0,0676
сред.	6,0	0,0504
дисп.	10,0	0,000120
ковар.		0,0346
N
11	0,00346	0,0296

	0,00005	0,0003
коррел.	0,9998

График 2. Зависимость

2.6

Используя МНК (можно использовать ПГО), определим свободное слагаемое и угловой коэффициент наклона усредняющей прямой в зависимости . Вычислим абсолютные погрешности этих величин (табл. 2).

Перед добавлением первой порции холодной воды . Используя соотношения (12), запишем:

Из (13) получим:

2.7

Используя соотношения (12), запишем: $к$

Учитывая значения объёмов тёплой и одной порции холодной воды ( мл, мл), запишем соотношение между их теплоёмкостями:

Подставляя (13) и (20) в (19), получим: $к$

отсюда $к$

Вычислим значение числового коэффициента в (22), получим:

$к$

Вычислим теплоёмкость одной порции холодной воды:

$в в кг м м Дж кг Дж$

Теплоёмкость внутреннего стакана калориметра

$к Дж Дж$

Определим с помощью весов массу внутреннего стакана калориметра

$к г$

Определим удельную теплоёмкость металла, из которого изготовлен внутренний стакан калориметра

$к к к Дж кг кДж кг$

2.8

Используя (11) и (12), запишем:

Из (26) получим:

при

3.1

Тепловые потери необходимо учитывать после добавления первой порции холодной воды.

3.2

Авторы задачи предлагают способ, основанный на определении значений температуры и соответствующих им моментов времени при самопроизвольном остывания воды в калориметре. Так как тепловые потери необходимо учитывать после добавления первой порции холодной воды, то наберём в калориметр 90мл тёплой воды и начнём фиксировать температурные и временные интервалы с того момента, когда температура воды станет равной (такая температура воды установилась в калориметре после добавления первой порции холодной воды). В этом эксперименте нам достаточно фиксировать температуру на минутных интервалах, поэтому время можем определять по настенным часам с секундной стрелкой.

Таблица 3.
Результаты по самопроизвольному остыванию воды
, мин	,
0	52,0
1,0	51,5
2,0	51,0
3,0	50,6
4,0	50,2
5,0	49,9
6,0	49,6

Из таблицы 2 видим, что за 6,0 минут (это время, за которое авторы задачи провели эксперимент в п. 2.3) вода в калориметре самопроизвольно охладилась на . Обозначим значение температуры воды в калориметре после добавления первой порции холодной воды $к$ (так как обозначение значение температуры холодной воды уже «занято»). Тогда верхнюю границу доли тепловых потерь можно оценить как $в к$

Не обязательное дополнение. Долю потерь можно уточнить, если учесть, что мощность теплопотерь пропорциональна разности температур воды в калориметре и окружающего воздуха. Усредним по времени температуру воды в калориметре в ходе экспериментов в п. 2.3 и п.3.2, получим: Разность данных температур с температурой окружающего воздуха ( $возд$ ): Тогда уточнённое значение доли потерь $у в$

Если учесть, что в ходе эксперимента в п. 2.3 увеличивался объём воды в калориметре, что вело к уменьшению площади внутренней поверхности стакана калориметра, с которой так же происходили теплопотери, то значение доли теплопотерь ещё несколько уменьшится.

Второй способ оценки коэффициента тепловых потерь. Этот способ даёт значительно заниженное значение доли тепловых потерь, из-за того, что невозможно учесть всю теплоту, которую забирает калориметр от теплой воды, а затем отдаёт её холодной.

Используя имеющиеся экспериментальные данные, вычислим температуру, которая должна установиться после добавления в калориметр 10-й порции холодной воды. Составим уравнение теплового баланса. Отданную и полученную теплоту запишем как:

$отд к к$

$пол$

где — температура, которая должна установиться в калориметре после добавления 10-й порции холодной воды. Приравнивая (29) и (30), получим:

$к к$

откуда

$к к к$

После подстановки значений и вычислений получаем . Расхождение с экспериментально полученным значением (, см. табл. 1) в . Такое отличие в значениях температур должно соответствовать доле тепловых потерь в , что не соответствует действительности. К тому же отличие в температурах будет значительно меньше, чем абсолютная погрешность данной величины. Применяя данный способ для оценки доли тепловых потерь, у учащихся может получиться даже отрицательное значение данного коэффициента. Принимая во внимание выше указанное, данный способ считаем не корректным.

← Подсказки Оценить своё решение →

Решение

Похожие задачи

Оригинал в архиве олимпиады