Задача 9.1. Простая задача про простые механизмы.

Когда великий Архимед открыл правило рычага, он воскликнул: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю!». И не случайно – еще в античные времена это правило трансформировалось в «золотое правило механики»: «ни один механизм не дает выигрыша в работе, во сколько раз выигрываешь в силе, во столько раз проигрываешь в работе!». А через 2 тысячи лет из этого правила вырос закон сохранения энергии, основа современной физики. Вам предстоит доказать, что Вы тоже понимаете «золотое правило механики» и его применение к различным механизмам. В каждой части не только приведите ответ, но и обоснуйте его. Во всех устройствах трением пренебрегайте.

1.1 Ворот.

Подъемное устройство (ворот) состоит из двух соединенных толстых дисков, насаженных на одну горизонтальную ось. Радиусы дисков равны , . На боковые поверхности дисков намотаны крепкие веревки. Одну из них тянут горизонтально с постоянной силой . Определите массу груза , который можно поднять с помощью этого устройства.

1.2 Полиспаст.

На рисунке показано еще одно подъемное устройство – полиспаст. Определите массу груза , который может поднять человек массы с помощью этого устройства. Масса всех одинаковых блоков полиспаста равна , массой остальных его частей можно пренебречь. 1.3 Лебедка.

На рисунке показана схема еще одного подъемного устройства – лебедки. Сдвоенные шестерни 1-4 имеют зубьев на большей шестеренке и зубьев на меньшей шестеренке (причем ). На последней 5 ступени меньшая шестеренка заменена на диск радиуса , на который намотана веревка, к которой привязывают поднимаемый груз . Первую шестерню приводят во вращения с помощью червячного механизма. Ось червяка вращают с помощью ручки, длина плеча которой равна . Силу прикладывают к рукоятке перпендикулярно плечу. Определите массу груза, которую можно поднять с помощью этой лебедки.

1.4 Домкрат.

На рисунке показан домкрат и его схема. Основу домкрата составляет подвижная рама , имеющая форму ромба со стороной . Эти стороны соединены шарнирно. Между точками и находится стержень с резьбой с шагом . При вращении стержня узел (внутри которого имеется гайка с соответствующей резьбой) приближается к узлу , при этом узел поднимается и поднимает необходимый груз. Стержень с резьбой вращают с помощью рукоятки , длина которой . Силу прикладывают к ручке рукоятки перпендикулярно к плечу . Рассчитайте подъемную силу домкрата (т.е. силу ) в тот момент, когда расстояние (обозначим его ) в два раза больше расстояния .

Постройте примерный график зависимости подъемной силы домкрата от длины (которая изменяется в ходе подъема).

Подсказка. Рассмотрите малое изменение величины .