Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2009 11 класс № Э2

Задание 2. «Как устоять на иголке!»

Лишнее теоретическое введение.

Рассмотрим идеализированную систему, упрощающую исследуемый маятник: пренебрежем высотой иголок (т.е. будем считать, что оси вращения проходят через точку пересечения спиц); пренебрежем массой булавок и ластика. Эта модель показана на рисунке – спицы находятся в вертикальной плоскости, проходящей через ось .

Период колебаний математического маятника определяется по формуле

где - момент инерции относительно оси вращения, - расстояние от оси вращения до центра масс, - масса маятника.

С помощью этой формулы и теоремы Штейнера можно записать выражения для периодов:

продольных колебаний (вокруг оси )

Поперечных колебаний (вокруг оси )

При выводе учтено, что момент инерции тонкой однородной спицы относительно оси перпендикулярной спице и проходящей через ее центр масс равен .

Функция (2) имеет минимум при

который равен

Эти теоретические измышления и послужили основой данной задачи. Правда ластик и булавки приводят к некоторым отклонениям, особенно существенным, когда длина нижней части спиц приближается к половине ее длины.

Решение.

  1. В наших экспериментах использовались стальные спицы длиной 34 см с небольшой пластмассовой головкой. Угол между спицами близок к 90 градусам.
2.1

Таблица результатов измерений и построенные по ним графики представлены в таблице и на рисунке.

Таблица 1.

, см , с , с
31 0,844 1,186
30 0,842 1,185
29 0,838 1,171
28 0,844 1,170
27 0,845 1,169
26 0,849 1,175
25 0,865 1,209
24 0,918 1,269
23 0,949 1,347
22 1,026 1,424
21 1,183 1,655
20 1,478 1,987
19 2,570 3,255

Для оценки погрешности необходимо провести несколько измерений при одном значении параметра . Мы провели эти измерения для поперечных колебаний при мм. Получен следующий ряд значений для времени 10 колебаний: 8,79; 8,71; 8,71; 8,78; 8,78 с. Среднее значение периода с Тогда случайная погрешность результата одного измерения периода равна слс Приборную погрешность измерения времени следует принять равной цене деления (для электронного секундомера с), следовательно, приборная погрешность измерения периода (по 10 колебаниям) следует считать равной пр с. Как и следовало ожидать основная погрешность случайная, поэтому можно принять, что погрешность измерения периода (слегка завышенная) *с

Примечания.

  1. Случайная погрешность может быть оценена и другим «школьным» методом, как среднее значение модулей отклонения.
  2. Время реакции человека мы относим к случайным погрешностям.
  3. Конечно, не следует ожидать от участников тщательного анализа погрешностей. Но, они обязаны оценить случайную, приборную и полную погрешности измерения периода,* которая должна составлять величину порядка с.
2.2

Дополнительные измерения необходимо провести с меньшим шагом и провести несколько измерений (минимум 3) для каждого значения параметра , после чего провести усреднение. Результаты этих измерений (времен 10 колебаний – три измерения, рассчитанный период) приведены в таблице, на основании которой построен график зависимости периода от параметра .

Таблица.

, мм , с , с , с , с
300 8,53 8,47 8,48 0,849
295 8,47 8,46 8,47 0,847
290 8,45 8,44 8,39 0,843
285 8,49 8,50 8,46 0,848
280 8,45 8,44 8,43 0,844
275 8,46 8,48 8,45 0,846
270 8,53 8,53 8,51 0,852
265 8,52 8,55 8,51 0,853
260 8,57 8,56 8,57 0,857
255 8,57 8,60 8,58 0,858
250 8,79 8,71 8,71 0,874

Затем по нанесенным точкам необходимо нанести плавную кривую, похожую на параболу и уже по ней определить значения требуемых параметров. По нашим данным мм, с.

2.3

Расчет значений отношения и график его зависимости от параметра представлены ниже.

, см
31 0,712
30 0,711
29 0,716
28 0,721
27 0,723
26 0,723
25 0,715
24 0,723
23 0,705
22 0,721
21 0,715
20 0,744
19 0,790

Видно, что это отношение действительно остается постоянным при см. Для подтверждения этого утверждения следует стандартным образом определить среднее значение и погрешность расчета данного отношения по всем значениям при см. По нашим данным значение равно . Отметим, что оно близко к теоретическому значению .

Э2 Дисковый маятник

Оборудование: лист картона формата А4, ножницы, шило, циркуль, два болта с гайками, штатив с лапкой и гвоздем, секундомер.

Формулу для периода …

 Городская3-й этап 2018 11 кл. Вращательное движение. Момент силыМомент инерцииЦентр масс У Р Б П ≈3/5 Э2 Установление вида зависимости

Описание установки. В данной задаче исследуются малые колебания крутильного маятника. Схема маятника показана на рис. 1

Металлический стержень с …

 Городская3-й этап 2021 11 кл. Момент инерцииСилы упругости. Закон ГукаПотенциальная энергия У Р Б П ≈3/5 Э1 Негармонические колебания

Оборудование: два штатива, желоб пластиковый длиной 110см закреплённый на двух дощечках длиной 56см каждая (ширина дощечек 5,0 - 6,0см, толщина 1,0 …

 Городская3-й этап 2024 11 кл. Ускорение. Равноускоренное движениеЗаконы динамики НьютонаСухое трение У Р Б П ≈3/5 Э1 Еще одна колебательная система!

Приборы и оборудование: штатив, спица вязальная (длинная), пластинка из жести; ластик, разрезанный на две равные части, секундомер, транспортир …

 Городская3-й этап 2017 11 кл. Момент инерцииЦентр массПотенциальная энергия У Р Б П ≈3/5 Э1 «Качательные» колебания

Оборудование: цилиндр металлический, линейка деревянная, секундомер, пластилин, палочка деревянная. С помощью пластилина прикрепите к боковой грани …

 Городская3-й этап 2008 11 кл. Вращательное движение. Момент силыМомент инерцииСухое трение У Р Б П ≈3/5 Э2 Полумаятник

В данной задаче Вам необходимо исследовать колебания математического маятника при наличии ограничений, а также показать свои умения в теоретических …

 Городская3-й этап 2013 11 кл. Математический маятникУстойчивость и линеаризация около равновесияГрафик как физический инструмент: наклон, площадь, пересечение и касательная У Р Б П ≈2/5
← Подсказки Режим тренировки →

Оригинал в архиве олимпиады