1.1 Формулы:

Расход жидкости может быть выражен формулой где - площадь поперечного сечения трубы, - средняя по поперечному сечению скорость течения, которая может быть выражена через расход жидкости, как

Очевидно, что время движения жидкости по трубе равно Это же выражение может быть представлено, как объем трубы, деленный на расход жидкости .

Из формулы Пуазейля легко выразить разность давлений через расход жидкости

Обозначим скорость течения жидкости в первой трубе , во второй - ; площади поперечных сечений - , давления в трубах . Так как жидкость является идеальной, то давление изменяется скачком только в области стыка двух труб. Рассмотрим порцию жидкости, находящуюся между двумя произвольно выбранными сечениями (одно в широкой части трубы, второе в узкой части). Пусть за малый промежуток времени первое сечение сместилось на расстояние , тогда второй сечение сместится на расстояние . Так как жидкость несжимаема, то выполняется соотношение Эта величина имеет смысл объема, протекшего через поперечное сечение трубы за рассматриваемый промежуток времени. Скорость этой порции жидкости изменилась от до . Следовательно, возросла и кинетическая энергия этой порции жидкости. Изменение кинетической энергии обусловлено работой внешних сил (т.е. сил давления жидкости на выделенную порцию), поэтому можно записать:

Учитывая соотношение (5), получим уравнение (которое фактически является уравнением Бернулли):

Скорости течения жидкости выразим через расход жидкости и подставим в уравнение (7):

При течении вязкой жидкости давление изменяется и в пределах трубы постоянного течения. Обозначим давления в различных сечениях, как показано на рисунке.

Запишем уравнения для изменения давлений на всех участках составной трубы (используя формулы (4) и (8)):

И просуммируем эти выражения:

В результате чего получаем квадратное уравнение, правда с громоздкими коэффициентами:

При решении этого уравнения следует выбрать положительный корень:

где

При решении этой задачи можно повторить все рассуждения п.1.2, а в окончательной формуле (8) под следует понимать суммарную площадь всех присоединенных труб, поэтому Заметим, что эта разность давлений может быть отрицательной.

2.1.1 – 2.1.5 Для расчета требуемых характеристик следует воспользоваться уже полученными формулами, которые следует слегка модернизировать с учетом числа сосудов в каждой группе. Приведем эти формулы, необходимые для расчетов: Расход крови через один сосуд в группе: Где - суммарный расход крови.

Площадь поперечного сечения сосуда в группе Средняя скорость течения крови в сосуде: Время движения через сосуд Разность давлений на концах сосуда Скачок давлений на стыке сосудов

Интересно отметить, что при замкнутом круге обращения (когда суммарные площади сечений в начале и конце цикла равны) сумма этих скачков давлений равна нулю. Суммарные характеристики рассчитываются очевидным способом, как суммы соответствующих характеристик в каждой группе.

Результаты расчетов по приведенным формулам приведены в Таблице 2.

Таблица 2. Расчетные характеристики артериальной системы человека

Общее время движения крови по артериальной системе равно 2,0 с. Разность давлений на входе и выходе из артериальной системы (сумма двух последних столбцов) равно 13 кПа, что примерно равно 100 мм рт. ст. Следует отметить, что скачки давлений в местах разветвления сосудов, во-первых, отрицательны (т.к. общая площадь поперечных сечений сосудов в каждой группе увеличивается); во-вторых, не слишком значительны.

Разумно считать, что разность давлений в венозной системе также примерно равна 100 мм рт. ст. Поэтому суммарное давление, которое должно создавать сердце, примерно в два раза превышает реальное сердечное давление. Основная причина такого существенного расхождения заключается в том, что сосуды функционируют гораздо сложнее, чем жесткие трубки. Они проходят через различные мышцы тела, которые могут способствовать лучшему протеканию крови, т.е. работают как своеобразные «микронасосы».