На каждый ион в металле приходится электронов, причём массой электронов в сравнении с массой иона можно пренебрегать. В соответствии с этим

Так как электронный газ считается идеальным, к нему можно применить методы кинетической теории газов, в соответствии с чем

В электрическом поле в соответствии со вторым законом Ньютона для электронов

Тогда по прошествии времени после предыдущего столкновения электрон имеет скорость

где — скорость, полученная электроном в результате столкновения. Тогда, учитывая, что среднее время между столкновениями равно времени релаксации, а скорость после столкновения направлена случайным образом, получаем, что

Плотность тока в данном случае найдем

по закону Ома. Тогда

С учетом (7) для среднего времени между столкновениями получаем

Найдем среднюю энергию, передаваемую электроном кристаллической решетке за одно столкновение. Если — скорость электрона сразу после столкновения, а — непосредственно перед ним, то

Тогда мощность, выделяемую в единице объёма, можно найти как Как следует из закона Ома в дифференциальной форме где и — длина и площадь сечения стержня соответственно. Тогда

Перенос теплоты осуществляется за счёт того, что электроны, пришедшие из областей с более высокой температурой, сталкиваясь с ионами в областях с меньшей температурой, отдают им больше энергии, чем получают от них. Рассмотрим некоторое поперечное сечение внутри металла. В среднем половина электронов приходит в эту точку со стороны положительного направления оси , а половина — со стороны отрицательного.

Тогда плотность потока теплоты, обусловленная электронами, пришедшими со стороны отрицательного направления оси с проекцией скорости равна

Тогда полная плотность потока теплоты для электронов с проекцией скорости равна Предполагая, что температура меняется незначительно на длине свободного пробега электрона, получаем, что

Для теплопроводности металла (меди) получаем следующее значение

Численное значение постоянной Лоренца найдем из формулы подсказки

Рассуждения в данном пункте практически полностью повторяют оные из пункта 2.1. Действительно, при этом

С учетом правил работы с бесконечно малыми величинами, данное выражение можно преобразовать как

Пусть электрон испытывает одно столкновение в точке с координатой , а второе — в точке с координатой . Тогда выделение теплоты во втором столкновении равно

Полученное выражение можно привести к виду

Откуда следует, что

Численное значение дает

Из формулы (25) следует, что мощность дополнительной теплоты Томсона пропорциональна плотности тока и градиенту температур, причем коэффициент пропорциональности равен