Сферический баллон

Условие

Республиканская олимпиада 2011 11 класс № 2

Тонкостенный сферический баллон изготовлен из стали и используется для хранения газообразного кислорода.

Параметры баллона:

радиус в недеформированном состоянии $м$ ;

толщина стенок $мм$ ;

плотность стали $кг м$ ;

модуль Юнга стали $Па$ ;

предел прочности на разрыв $п р Па$ ;

работа выхода электронов из стали равна $вых Эв$ .

Атмосферное давление $атм атм Па$ , комнатную температуру считать равной . Молярная масса кислорода $кг моль$ .

Физические постоянные:

универсальная газовая постоянная $Г Дж моль К$ ;

электрическая постоянная $м$ ;

скорость света $м с$ ;

заряд электрона $Кл$ ;

постоянная Планка $Дж с$ .

Внимание! В каждой части задачи сначала получите точные уравнения, необходимые для ответа на поставленные вопросы. Для их решения можете использовать приближенные методы. В каждом случае дайте обоснование сделанных приближений. Вам может понадобиться приближенная формула справедливая при малых и любых показателях степени .

Часть 1. Деформация баллона.

Подсказка - напоминание. При однородном растяжении мерой деформации служит относительное удлинение ( - длина образца в недеформированном состоянии, - абсолютное удлинение); силы упругости удобно характеризовать механическим напряжением, численно равным отношением силы упругости к площади сечения, на которое действует эта сила $у п р$ *. Согласно закону Гука механическое напряжение* пропорционально относительной деформации где коэффициент пропорциональности называется модулем Юнга вещества. В данной задачи следует считать, что закон Гука выполняется для всех деформаций вплоть до разрушения материала, которое наступает, если механическое напряжение достигает предельного значения $п р$ *, которое также называется пределом прочности на разрыв.

1.1 Внутри баллона закачивают газообразный кислород при комнатной температуре. После заполнения баллона давление газа оказалось равным атм. На сколько увеличится радиус баллона после заполнения баллона?

1.2 Каково может быть максимальное давление кислорода в баллоне при комнатной температуре? Чему равна масса кислорода в этом случае?

Часть 2. Колебания баллона.

Некоторые утверждают, что по высоте звука можно определить заполнен газовый баллон или пуст. В данной чести задачи вам необходимо оценить правдоподобность подобного утверждения. Для упрощения будем рассматривать малые симметричные радиальные колебания описанного сферического баллона. В данной части задачи атмосферным давлением следует пренебречь.

2.1 Найдите частоту симметричных радиальных колебаний пустого баллона.

2.2 Баллон заполнили кислородом, так, что его давление в неподвижном баллоне равно атм. Найдите относительное изменение частоты симметричных колебаний оболочки баллона после его заполнения кислородом, считая процесс сжатия и расширения газа в баллоне адиабатным.

Подсказка - напоминание. Уравнение адиабатного процесса имеет вид где - давление газа, - объем, занимаемый газом, - показатель адиабаты, для кислорода он равен .

Часть 3. Электрический заряд.

Если оболочке баллона сообщить некоторый электрический заряд , то она расширится. В данной части считайте, что баллон пуст и атмосферное давление отсутствует.

3.1 Определите давление электрического поля на поверхность баллона, если ее заряд равен .

3.2 Какой максимальный заряд можно сообщить оболочке баллона, чтобы она не разорвалась?

Часть 4. Рентгеновское освещение.

Пустой баллон находится в вакууме и освещается рентгеновским излучением с длиной волны м.

4.1 Выразите энергия кванта рентгеновского излучения в электрон-вольтах.

4.2 Найдите относительное увеличение радиуса баллона при его облучении.

Работа выхода электронов из стали равна $вых$ Эв.

Примечания

1. Строго говоря, при расчете колебаний стенок необходимо учитывать распространение упругих волн в газе внутри баллона (звуковые волны). Однако, мы упростим ситуацию и будем считать, что давление во всем объеме изменяется мгновенно во всех точках (так, называемое квазистационарное приближение). ↩