Федя – путешественник — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2010 9 класс № 1

Пересчет скорости проводится традиционно $к м ч а с м м и н м м и н$

1.2 Время движения Феди $м м с м и н$

2.1 Сначала (в течении промежутка времени ) Федя движется равномерно, а затем остается в покое, поэтому $п р и п р и$ График закона движения показан на рис. 2.

1.4-1.5 Изобразим схематически законы движения Феди и Шарика (рис. 1). Пусть Шарик в очередной раз вернулся домой в момент времени . Следующая встреча с Федей произойдет в момент времени , в точке с координатой Эту же координату можно выразить из закона движения Шарика на этом участке Приравнивая эти выражения, получим Очевидно, что назад Шарик будет бежать столько же времени, как и до встречи, поэтому Из последних соотношений находим Полученное соотношение показывает, что времена возвращения Шарика домой образуют геометрическую прогрессию, которую в явном виде можно записать (с учетом ) Из формулы (6) выразим моменты встреч Шарика с Федей и координаты мест встречи

По полученным формулам легко рассчитать численные значения времен и координат (см. Таблицу 1)

Таблица 1. Планируемый график движения Шарика.

	Возвращение к дому		Встреча с Федей
	(мин)	(м)	(мин)	(м)
0	5,0	0
1			7,5	375
	10	0
2			15	750
	20	0
3			30	1500
	40	0
4			60	3000
	80	0
5			120 (?)	6000 (?)
			113	5000
	147	0

Расчет показывает, что к четвертой ожидаемой встрече Федя уже дойдет до своей цели. Поэтому Шарик в четвертый раз встретит Федю в точке $м$ , в момент времени $мин$ Последний раз Шарик должен вернуться домой в момент времени $мин$ 1.6 Так как Шарик должен двигаться с постоянной по модулю скоростью, то путь, который он должен пробежать равен $м км$ 1.7 График закона движения Шарика также показан на рис. 2.

2.1 Если Шарик отдыхал в течении промежутка и опоздал на время , то она бежал в течении промежутка времени и догнал Федю в точке , поэтому должно выполняться соотношение из которого определяем $м и н$ Так десятиминутная задержка привела к пятнадцатиминутному опозданию, взбучке, лишним километрам, да еще и к необходимости резко увеличить скорость бега!

2.2 Так как неудачная встреча Шарика с Федей произошла в точке $м$ , в момент времени $м и н$ , а следующая встреча в момент времени $м и н$ в точке $м$ , то средняя скорость, которую должен развить Шарик должна быть равна $м м и н м мин$ Судя по документальной хронике – такая скорость Шарику доступна! Возвратится же он домой после этой бешеной гонки в момент времени $м и н$ Как видно, он более чем на 10 минут опоздал и на встречу с Матроскиным, что привело к еще одному воспитательному мероприятию!

2.3– 2.4 По плану Федя должен был входить в деревню в момент времени $м и н$ , а в реальности он вошел в нее в момент времени $м и н$ . Следовательно, он отдыхал в течении промежутка времени $м и н$ Где именно Федя устроил место отдыха сказать невозможно. Поэтому на графике закона движения этот горизонтальный участок может находиться в произвольном месте (на рис. 3 – сразу после встречи с Шариком).