10.3 Обозначим поверхностную плотность зарядов на обкладках конденсатора , а на поверхности пластины (обе эти величины зависят от времени). Так как внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало, то в любой момент времени разность потенциалов между обкладками конденсатора будет равна напряжению источника. Поэтому в любой момент времени справедливо соотношение где - напряженности электрических полей между пластиной и обкладками и внутри пластины, соответственно. Сразу после подключения источника на пластине возникнут поляризационные заряды, такие, что поле внутри пластины будет в раз меньше поля вне ее, то есть

Из этих соотношений находим, что плотность зарядов на обкладке конденсатора будет равной

следовательно, в начальный момент времени заряд пластины будет равен

Однако, пластина слабо, но проводит электрический ток. Поэтому внутри пластины ток будет течь до тех пор, пока поле внутри пластины не исчезнет. Это произойдет при . В этом случае из соотношения (1) следует

соответствующий заряд на обкладке примет значение

Таким образом, заряд на пластине будет монотонно возрастать от до .

Изменение поверхностной плотности заряда обусловлено током внутри пластины. Плотность этого тока может быть найдена по закону Ома

Плотность тока максимальна, когда максимально поле внутри пластины, то есть в начальный момент времени, когда

следовательно, максимальная сила тока

Строго говоря, время установления равновесия зарядов на пластине и

обкладках конденсатора равно бесконечности, так как сила тока в соответствии с формулой (5) монотонно убывает. Однако характерное время зарядки конденсатора мы можем получить, считая силу тока постоянной и равной . Этот метод получения оценки иллюстрирует следующий рисунок.

Изменение заряда легко подсчитать - в начальный момент времени заряд поверхности пластины а его конечное значение Итак, оценка характерного времени заряда имеет вид

10.3 Рассмотрим скольжение тела по произвольной прорези, образующей угол с горизонтом. Ускорение тела, движущегося по наклонной плоскости без трения, определяется известной формулой

Длину этой прорези также не трудно найти: отмеченные на рисунке углы равны, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, следовательно, длина прорези равна . Используя закон равноускоренного движения , найдем время движения которое не зависит от угла , следовательно, одинаково для всех прорезей.

Воспользуемся полученным результатом для решения второй части задачи. Представим, что из точки одновременно по разным наклонным

плоскостям начали скользить малые тела. Согласно ранее доказанному в любой момент времени они будут находиться на

одной окружности, радиус которой постоянно растет. Тогда первым достигнет наклонной плоскости тот брусок, который находится в точке касания окружности, касательной к плоскости. С помощью рисунка легко доказать, что искомый угол желоба с вертикалью равен половине угла , то есть .