В современном мире успешно работают миллионы машин, основная часть которых использует как бензиновые, так и дизельные двигатели внутреннего сгорания (ДВС). Доля электромобилей на мировом рынке в настоящий момент крайне невелика — около %.

При создании ДВС в середине XIX века перед инженерами и конструкторами встал важный прикладной (и научный!) вопрос: а какой тепловой двигатель имеет максимальный термодинамический КПД, т.е. является идеальной тепловой машиной?

Заметим, что цикл Отто (бензиновый двигатель) и цикл Дизеля (дизельный двигатель) не являются идеальными тепловыми циклами, хотя автомобили, работающие по этим циклам, и составляют львиную долю современного производства. Так что же, наша цивилизация так глупа?

Впервые идеальная тепловая машина была описана в 1824 г. французским физиком и инженером Сади Карно (Рис. 1) в скромной работе «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу». Заметим, что эта сравнительно небольшая работа содержала «всего лишь» 65 страниц, 5 поясняющих рисунков и 2 теоремы.

Интересно, что сам автор так и не счел необходимым изобразить графически свой знаменитый цикл (Рис. 2), известный сегодня каждому школьнику, он привёл только его точные описания ...

С. Карно был талантливым учеником известного математика и физика Семиона Дени Пуассона, который в 1823 г. впервые получил уравнение адиабатного процесса (уравнение Пуассона) и предложил тему дальнейшего перспективного исследования молодому Карно.

Интуиция и предчувствия не подвели Пуассона – пионерская работа активного Карно со временем стала фундаментальной, принесла автору мировую известность и положила начало новому разделу физики – термодинамике.

Справочные данные и параметры рассматриваемой системы: если , то при малых и (, ) справедливо равенство: (справедливо также и обратное утверждение); затонированная площадь (Рис. 3) под гиперболой вычисляется через натуральный логарифм по формуле , молярная газовая постоянная Дж/(моль К).

Часть 1. Адиабатный процесс

Термодинамический процесс, проводимый без теплообмена () с окружающей средой (т.е. в теплоизолированной системе), называется адиабатным процессом. Адиабатными являются многие быстропротекающие процессы (взрыв, быстрое расширение (сжатие) газа, распространение звуковой волны), процесс подъема теплого воздуха с поверхности земли с последующим охлаждением, конденсацией пара и образованием облаков и т.д.

1.1 Теплоёмкость идеального газа, взятого в количестве моль (), называется молярной теплоёмкостью. Найдите молярную теплоёмкость идеального одноатомного газа при изохорном процессе, т.е. при постоянном объёме (). Запишите формулу для

внутренней энергии идеального одноатомного газа через и в дальнейшем используйте её для любого идеального газа.

1.2 Выразите молярную теплоемкость идеального газа при постоянном давлении (), т.е. при изобарном процессе, через .

1.3 Получите уравнение адиабатного процесса для произвольного идеального газа в переменных с показателем адиабаты .

1.4 В полученном уравнении сделайте замену переменных и запишите уравнение адиабатного процесса для произвольного идеального газа в «традиционном» виде, т.е. в переменных .

1.5 Схематически изобразите на одной – диаграмме ход адиабаты и изотермы идеального газа. Кратко охарактеризуйте особенности построенных графиков.

Часть 2. Идеальный цикл (цикл Карно)

Карно доказал, что идеальная тепловая машина, реализующая максимальный термодинамический КПД при заданных температурах нагревателя и холодильника (), должна работать по обратимому циклу (Рис. 4), состоящему из двух изотерм и двух адиабат (вторая теорема Карно).

Более того, для цикла Карно не зависит от типа рабочего тела (т.е. не важно, какой именно идеальный газ используется!). Он определяется только температурами нагревателя и холодильника (первая теорема Карно).

При идеальном цикле изотерма осуществляется при большей температуре , далее следует адиабатный переход , изотерма при меньшей температуре и, наконец, адиабатное возвращение к начальной точке цикла (см. Рис. 4). Величины , , , , , для цикла Карно считайте известными.

2.1 Докажите «правило объемов» для цикла Карно, согласно которому произведение «крайних» объемов равно произведению «средних»: .

2.2 Докажите «правило адиабатных площадей» для данного цикла, которое утверждает, что площади и под адиабатами и на – диаграмме цикла Карно (Рис. 5) одинаковы: .

2.3 Найдите количество теплоты , полученной идеальным газом от нагревателя, и количество теплоты , отданной им холодильнику.

2.4 Выведите формулу для максимального термодинамического КПД цикла Карно, осуществляемого при данных температурах нагревателя и холодильника .

Возможные решения:

Часть 1. Адиабатный процесс

1.1 Внутренняя энергия идеального одноатомного газа вычисляется по формуле

Поскольку при изохорном процессе () работа газом не совершается, то при нагревании идеального одноатомного газа на увеличится только его внутренняя энергия на

С другой стороны, согласно условию, можем записать

Сравнивая (2) и (3), находим молярную теплоёмкость идеального одноатомного газа при постоянном объёме

Заметим, что двухатомного идеального газа при комнатных температурах , для трёхатомного и далее она монотонно возрастает в зависимости от числа атомов и особенностей (температуры) изохорного процесса.

Используя (4) и (1), запишем внутреннюю энергию любого идеального газа в общем виде

1.2 Согласно первому началу термодинамики при произвольном процессе количество теплоты , сообщенное газу, идет на изменение его внутренней энергии и совершение газом работы

Рассмотрим два близких состояния системы и . Из уравнения состояния идеального газа в форме Клапейрона – Менделеева для этих изобарных состояний можем записать

Вычитая уравнения, из (7) найдем

Подставляя (8) в (6), с учетом (3) получим для изобарного процесса

Теперь, по определению, легко находим молярную теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении

После сокращения на , окончательно получаем, что для произвольного идеального газа справедливо равенство

Уравнение (11) было получено в 1842 г. немецким естествоиспытателем и очень внимательным медиком (!) Р. Майером, который первым заметил различия в цвете крови (!!) на экваторе и в средних широтах. Где кровь, а где термодинамика ...? ☺

Таким образом, согласно уравнению Майера, молярная газовая постоянная (см. размерность) даёт разность между молярными теплоемкостями идеального газа при различных процессах: изобарным и изохорным.

1.3 По определению адиабатный процесс осуществляется в теплоизолированной термодинамической системе, т.е. без теплообмена () с окружающей средой, следовательно, первое начало термодинамики для него примет вид Из (12) следует, что малая работа идеального газа при малом объемном расширении на совершается только за счет убыли его внутренней энергии (притока теплоты нет) С учетом (5) перепишем (13) в виде Выразим давление идеального газа из уравнения Клапейрона – Менделеева С учетом (15) выражение (14) примет вид Перепишем (16) в «удобном» виде, чтобы воспользоваться математической подсказкой из условия задачи Теперь, с учетом математической подсказки из условия задачи, можем заключить, что справедливо равенство Поскольку , то окончательно получим где – показатель адиабаты Пуассона.

Несмотря на то, что уравнение адиабатного процесса в виде (18) легче выводится, чаще (с подачи самого Пуассона) оно используется в выражении через переменные .

1.4 Перепишем уравнение адиабаты для идеального газа в наиболее распространенном, «классическом» виде, которое использовал Пуассон, т.е. в переменных .

Для замены переменных из (15) выразим температуру и подставим в (18) Следовательно, уравнение адиабатного процесса (Пуассона) для произвольного идеального газа в параметрах можно записать в виде

где показатель адиабаты .

1.5 Выразим зависимость давления от объема идеального газа при изотермическом процессе

и при адиабатном процессе

Поскольку , то из (21) и (22) следует, что с ростом объёма идеального газа на – диаграмме адиабата убывает «быстрее», чем изотерма. Можно сказать и по другому: на – диаграмме адиабата идет «круче», чем изотерма, поэтому у них обязательно будет точка пересечения (Рис. 5).

Соответственно, после точки пересечения графиков (см. Рис. 5), при адиабата всегда прижимается «ближе» к оси абсцисс (объёмов), т.е. как бы «ныряет» под изотерму.

Часть 2. Идеальный цикл (Цикл Карно)

2.1 Для доказательства «правила объёмов» используем условие замкнутости цикла Карно и запишем уравнения всех процессов идеального газа (изотерм и адиабат) по ходу цикла

Перемножив все уравнения (23) и (24), получим «длинное» равенство

которое, после сокращений, даёт

Из (26), после извлечения корня степени, следует искомое равенство (произведение «крайних» объемов равно произведению «средних»)

Интересно, что «правило объемов» будет также справедливо и для любых замкнутых политропических циклов вида , поскольку результат (27) не зависит от .

2.2 Рассмотрим адиабаты и цикла Карно. При адиабатном расширении работа газа положительна () и равна затонированная площади под адиабатой

С другой стороны, система теплоизолирована, поэтому из первого начала термодинамики следует, что эта работа равна разности внутренних энергий газа в начальном и конечном состояниях (на верхней и нижней изотермах, газ при этом остывает)

где для данного идеального газа.

Аналогично, при адиабатном сжатии модуль работы газа равен площади под графиком (она отрицательна ())

Работа газа при этом также равна разности энергий на тех же изотермах (газ при этом нагревается, поскольку его сжимают)

Из (29) и (31) следует, что на – диаграмме цикла Карно затонированные на Рис. 5 площади под адиабатами равны

2.3 Для нахождения количества теплоты , полученной газом от нагревателя с температурой , рассмотрим изотермическое расширение цикла Карно (Рис. 6).

При таком процессе, согласно первому началу термодинамики

а зависимость давления от объема является гиперболической

Как следует из математической подсказки, работа газа при таком процессе положительна () и равна площади под гиперболой (см. Рис. 6)

Аналогично заметим, что при изотермическом сжатии работа газа будет отрицательна () и количество теплоты , отданное холодильнику равна

2.4 По определению термодинамический КПД цикла равен

Из правила объёмов (27) следует, что

С учетом (38) можем сократить натуральные логарифмы в (37), и получим знаменитую формулу для максимального КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно

Как видим из (37), КПД идеальной тепловой машины определяется только температурами нагревателя и холодильника (т.н. «тепловых резервуаров»). Он не зависит от показателя адиабаты (т.е. вида газа или рода рабочего тела), степени расширения (сжатия) газа и т.д.

Однако практическое использование цикла Карно (как и всего идеального!) не представляется возможным – требования равновесности и обратимости процессов цикла увеличивают время проведения цикла до бесконечности и сводят на ноль его полезную

мощность! Так что цивилизация не так уж и глупа: лучше иметь двигатель с меньшим КПД, но с большей полезной (используемой) мощностью. Лучше синица в руках, чем журавль в небе… ☺