Джинн в бутылке — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2019 10 класс № Э1

1.1

Атмосферное давление в день проведения эксперимента равно $м м р т с т$

1.2

Результаты требуемых измерений (и промежуточные расчеты) приведены в Таблице 1.

Таблица 1. Результаты измерений зависимости давления воздуха от изменения объема

Изменение объёма установки , см	Показания манометра мм.рт.ст.	Давление воздуха в установке , мм.рт.ст.	Отношение
0,0	0	768	0,00
5,0	6	774	0,0078
10,0	12	780	0,0154
15,0	19	787	0,0241
20,0	24	792	0,0303
25,0	29	797	0,0364
30,0	36	804	0,0448
35,0	42	810	0,0519
40,0	47	815	0,0577
45,0	54	822	0,0657
50,0	60	828	0,0725
55,0	66	834	0,0791
60,0	73	841	0,0868

1.3

Так как температура воздуха в установке постоянна, то справедливо уравнение для изотермического процесса (закон Бойля – Мариотта):

Из этого уравнения легко выразить

Разделив эти уравнения, получим

Таким образом, эта зависимость линейна, причем коэффициент наклона обратно пропорционален искомому объему .

График измеренной зависимости показан на рисунке.

Действительно данная зависимость линейна. Коэффициент наклона этой линейной зависимости , рассчитанный по методу наименьших квадратов, равен $см$ Следовательно, объем газа в установке $см$

2.1

Результаты измерений зависимости показаний манометра от времени приведена в таблице 2. и на рисунке.

Таблица 2. Зависимость давления от времени .

, с	, мм рт. ст
0	60
39	70	0,258
62	76	0,273
83	82	0,263
100	86	0,250
115	90	0,222
136	94	0,222
160	100	0,226
229	115	0,208
256	120	0,195
306	130	0,190
340	136	0,175
363	140	0,161
402	146	0,158
439	152	0,167
462	156	0,154
491	160	0,132
568	170	0,128
600	174	0,129
630	178	0,130
646	180	0,116
699	186	0,119
730	190	0,119
783	196	0,100
830	200

По измеренным значениям можно рассчитать приближенные значения скорости изменения давления. Для этого предпочтительнее использовать симметричную формулу. При давлении скорость изменения давления

Результаты расчетов эти величин приведены последнем столбце в таблицы 2.

Эта зависимость приведена на графике. Разброс точек заметен, что связанно с погрешностью расчета скорости изменения давления. Однако достаточно четко видна линейная зависимость, что подтверждает применимость уравнения, приведенного в условии задачи По приведенному графику можно определить параметры линейной зависимости Значения этих параметров равны $м м р т с т$ Сравнивая уравнение (6) с уравнением (5), находим значения параметров уравнения (5) $м м р т с т$

Дополнение, не относящееся к основному решению. Численный расчет производной всегда приводит к большое погрешности, поэтому предпочтительнее обрабатывать интегральные зависимости. Точное решение уравнения (5) имеет вид

В полулогарифмическом масштабе эта зависимость линейна

Однако для построения этой зависимости необходимо знать предельное значение давления

. Если воспользоваться значением предельного давления, полученного ранее, то график зависимости (9) имеет вид, показанный на рисунке. Как видно все точки практически точно ложатся на прямую, что подтверждает применимость уравнения (5) в данном случае.

2.4

Для расчета массы углекислого газа, который выделится из газированной воды за очень большой промежуток времени следует воспользоваться уравнением идеального газа

В этом уравнении

$см$ - объем свободной части установки, после того, как в него залили газированную воду; - парциальное давление углекислого газа, выделившегося из воды за большой промежуток времени, измеренное значение температуры. Подстановка численных значений приводит к результату

$м о л ь м Д ж м о л ь$

2.5

Параметр в уравнении (5) имеет смысл величины, обратной характерному времени выхода растворенного газа. Следовательно, это время .

За время примерно равное отклонение давления от предельного значения составит примерно . Таким образом, этот эксперимент должен длиться порядка 1 часа.

Примечания

1. Не путайте показатели степеней с углами! ↩

← Подсказки Режим тренировки →

Решение

Примечания

Похожие задачи

Оригинал в архиве олимпиады