Оборотный маятник — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2019 11 класс № Э2

1.1

Из приведенной в условии формулы для периода колебаний, следует, что приведенная длина будет постоянной при выполнении условия Данное выражение можно преобразовать к более простому и наглядному виду $\tag not allowed in aligned environment\begin{aligned} & \left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}-x_{2}\right)^{2}-l_{1}\left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)-l_{1}\left(\frac{b}{2}-x_{2}\right)=0 \quad \Rightarrow \\ & \left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)^{2}-l_{1}\left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)=\left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)^{2}-2 \frac{l_{1}}{2}\left(\frac{b}{2}-x_{1}\right)+\frac{l_{1}^{2}}{4}-\frac{l_{1}^{2}}{4}=\left(\frac{b}{2}-\frac{l_{1}}{2}-x_{1}\right)^{2}-\frac{l_{1}^{2}}{4} \quad \Rightarrow \\ & \left(\frac{b}{2}-\frac{l_{1}}{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}-\frac{l_{1}}{2}-x_{2}\right)^{2}=\frac{l_{1}^{2}}{2} \tag{2} \end{aligned}$ Эта формула задает окружность с центром с координатами , радиус этой окружности . Легко заметить, что при любых значениях приведенной длины окружность проходит через точку с координатами . Эта точка есть вершина квадрата со стороной равной расстоянию между осями , центр этого квадрата находится в начале координат.

1.2

Для перевернутого положения преобразования выполняются аналогично (можно просто изменить знаки перед параметрами и ). Уравнение геометрического места точек в данном случае имеет вид Это есть окружность, проходящая через противоположную вершину квадрата .

1.3

Для того, чтобы периоды колебаний были одинаковы при обоих положениях маятника необходимо, чтобы построенные окружности совпадали. Т.е. окружность должна быть описана вокруг построенного квадрата. Уравнение этой окружности Соответствующая ей приведенная длина оказывается равной расстоянию между осями .

2.1

Результаты измерений зависимости периодов колебаний в прямом () и перевернутом положениях () от координаты приведены в Таблице 1, по данным которой построен график исследованной зависимости

Таблица 1.

| , мм | Времена 10 колебаний | , с | , с | | | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | | , с | | , с | | | | | 90 | 7,02 | 6,90 | 7,50 | 7,37 | 0,696 | 0,744 | | 95 | 7,35 | 7,28 | 7,71 | 7,64 | 0,750 | 0,768 | | 100 | 7,94 | 7,85 | 7,78 | 7,88 | 0,790 | 0,783 | | 105 | 8,38 | 8,35 | 7,86 | 7,89 | 0,837 | 0,788 | | 110 | 9,06 | 8,96 | 7,98 | 7,91 | 0,901 | 0,795 | | 115 | 9,65 | 9,74 | 8,00 | 8,08 | 0,970 | 0,804 | | 120 | 10,63 | 10,69 | 8,21 | 8,20 | 1,066 | 0,821 | | 125 | 12,17 | 12,09 | 8,34 | 8,31 | 1,213 | 0,833 | | 130 | 13,59 | 13,54 | 8,36 | 8,39 | 1,357 | 0,838 |

Зависимость периода колебаний от координаты

2.2

Для более точного определения значений координаты, когда периоды совпадают и значения этого периода можно провести линейную интерполяцию зависимостей в области пересечения. Из этого рисунка следует, что $мм$ ; $с$

2.3

Приведенная длина маятника в этом случае оказывается равной $мм$ Что примерно равно расстоянию между осями маятника. Этот результат есть первое подтверждение построенной теории.

← Подсказки Режим тренировки →

Решение

Похожие задачи

Оригинал в архиве олимпиады