Показательная разминка

Условие

Республиканская олимпиада 2005 11 класс № 1

Задание 11-1. «Показательная разминка»

1.1 Материальная точка начинает двигаться вдоль прямой под действием постоянной силы. При этом пройденный точкой путь зависит от времени по закону где - постоянная величина. Докажите справедливость приведенной формулы, определите показатель степени .

1.2 Вязкая жидкость начинает вытекать из баллона по длинной узкой горизонтальной трубке. Давление газа в баллоне над жидкостью поддерживается постоянным. При этом длина столба жидкости в трубке зависит от времени по закону где - постоянная величина. Докажите справедливость приведенной формулы, определите показатель степени .

В установившемся режиме средняя по поперечному сечению скорость движения жидкости по тонкой трубке пропорциональна разности давлений на концах трубки и обратно пропорциональна ее длине.

1.3 Внутри некоторой планеты в результате радиоактивного распада выделяется теплота, плотность мощности (количество теплоты, выделяющейся в единицу времени в единице объема) которой постоянная во времени и во всех точках внутри планеты. Температура поверхности планеты вследствие теплового излучения в окружающее пространство остается постоянной. Зависимость температуры внутри планеты от расстояния до ее центра имеет вид где - постоянные величины. Докажите справедливость приведенной формулы, определите показатель степени .

Поток теплоты (количество теплоты, протекающее через единичную площадку в единицу времени) определяется законом Фурье , где - функция, описывающая зависимость температуры от координаты.

1.4 Два точечных диполя находятся на расстоянии друг от друга. Сила электростатического взаимодействия между ними зависит от расстояния по закону где - постоянная величина. Докажите справедливость приведенной формулы, определите показатель степени .

Точечным диполем называется система из двух связанных зарядов, равных по величине и противоположных по знаку, расположенных на малом расстоянии друг от друга.

1.5 Двум небольшим одинаковым шарикам, находящимся на расстоянии друг от друга, сообщают разноименные электрические заряды, равные по величине. Шарики начинают сближаться. Время , через которое шарики столкнуться, зависит от начального расстояния между шариками по формуле где - постоянная величина. Докажите справедливость приведенной формулы, определите показатель степени .